Статсумма атома воорода

[pppppppo_98]

Во всех ранее мною читанных источниках по статмеханике газов начиная от Ландавшица заканчивая справочником Глушко все в один голос пишут дескать в связи с расходимостью ряда $Z_d=2 \sum_{n=1}^\infty n^2 e^{\frac{\beta E_0}{n^2}}$ - давайте ограничимся для практических целей 1,2,3 первыми членами да и успокоимся. Ну подход как подход. Однако... Тут нашел вот такую работу https://www.sciencedirect.com/science/a ... 7119312580

Там обходят эту проблему, известным символическим методом в матфизике с помощью функции Римана (кто не в курсе это метод с помощью которого можно вывести что $1+2+\dots +n +\dots=-\frac{1}{12}$ ).
Сказано -сделано. Авторы получают вот такую замкнутую формулу

$$Z_d=-\beta E_0 + 2\sum_{m=2}^\infty (\beta E_0)^m \frac{\zeta(2(m-1))}{m!} $$

к этой части у меня вопросов нет.($-E_0=\frac{\mu Z^2 e^4}{2 \hbar^2}$ - основной уровень водородоподобного иона с зарядом ядра Z и приведенной массой $\mu$)

Вопрос в другом. Авторы приводят еще континуальную часть статсуммы. И вот тут у меня вопрос. Сначала они приводят волновые функции атома водорода для непрерывного спектра (переписывать не буду кому надо найдет в ландавшице). Из них следует что при данном E: a)во первых есть решение типа сходящейся и расходящейся волны; б) и как должно существует бесконечная серия решений с разными моментами $l\in\mathcal{Z}_+$. При этом авторы пишут далее что континуальная часть статсуммы $Z_c=\frac{1}{2\pi\hbar}\int\limits_0^\infty dE\, e^{-\beta E}$

А где учтено указанное вырождение? В ландавшице когда обсуждается аналогичный подход статсуммах континуальных спектров таки пишут другой несколько интеграл $Z_c=\int e^{-\beta E} dn(E)$, где отношение мер $\frac{dn(E)}{d E}$ (плотность число состояний в интервале dE)- может быть крайне нетривиальным. Нет ли тут спецов в матфизике и дифференциальных операторах которые бы нормально смогли разьяснить чо да как

[Cos(x-pi/2)]

pppppppo_98 в сообщении #1630835 писал(а):

А где учтено указанное вырождение?

Авторы его не учли. Это ошибочная статья (так думаю, хотя я и не спец в матфизике).

[Red_Herring]

Разумеется это описка или ошибка: д.б. $dn(E)$. Разумеется надо посмотреть, что у них там дальше

[pppppppo_98]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1630897 писал(а):

Это ошибочная статья

но к дискретной части у меня претензий нет ...

-- Пн фев 26, 2024 02:17:40 --

Red_Herring в сообщении #1630904 писал(а):

Разумеется надо посмотреть, что у них там дальше

статья нужна ... могу выложить... Дальше они берут указанный мной интеграл и успокаиваются получая $\frac{1}{\beta h}$... что кроме того тут же напрягает ибо величина размерная... с мерами короче там как-то не очень... Уних в ссылках (4)есть другая статья где так же делается подход к получению статсуммы через пропагатор кулоновского потенциала, но пока не разобрался. Единственной что понял что все проблемы как водятся идут от некомпактного многообразия. А случаем никто не знает решения уравнения Шредингера для потенциала аналогичного кулоновскому (то есть порождашегося единичным заялом) в пространстве $\mathcal{S}^3$ нет ли в относительно простом виде?

[Red_Herring]

pppppppo_98 в сообщении #1630905 писал(а):

статья нужна ... могу выложить

Надо просто смотреть, используют дальше они правильную формулу, с $n(E)$ или неправильную. В первом случае это описка, во втором ошибка.

[Cos(x-pi/2)]

На мой взгляд они вообще какую-то ерунду пишут:





и потом вот так:

[pppppppo_98]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1630912 писал(а):

На мой взгляд они вообще какую-то ерунду пишут:

а поподробнее.... У меня претенезии пока только $\mathcal{Z}_{cont}$

Все остальное переписывание формул . В 4.2 они взяли интеграл по континуальной части статсуммы (!!! к которой у меня изначальные претензии), но интеграл взят правильно. Дискретную они регуляризовывают (тоже у меня претензий пока нет - я видел такие манипуляций с расходящимися рядами, что бы это вызвало у меня отторжение)

[Cos(x-pi/2)]

Подробнее Вы и сами уже всё написали: неверно они пишут континуальную часть (хотя детский интеграл сосчитали правильно, вот ещё не хватало чтобы они не сумели бы его сосчитать ).

А именно: а) плотность состояний они не учли, б) к безразмерному вкладу от дискретного спектра прибавляют свою ошибочную размерную континуальную часть, в) и это не опечатка, т.к. этот ошибочный интеграл у них написан в четырёх местах и вычислен.

Ну и, на мой взгляд, признаком безграмотности служит запись шпура оператора $e^{-\beta \hat{H}}$ в виде двойной суммы по энергиям; надо суммировать диагональные элементы по квантовым числам, а не по значениям энергии. (Правда, для атома водорода они в итоге написали-таки сумму по $n$ и вырождение дискретного спектра учли). А для непрерывного спектра у них написан двойной интеграл по энергии без учёта плотности состояний - никчёмная запись, в итоге ошибочная.

-- 28.02.2024, 03:52 --

Их манипуляцию с расходящимся рядом комментировать воздержусь (это дело опытных теоретиков, а я в такой математике не спец). Мне представляются более-менее понятными физические соображения, написанные по поводу этого сюжета Р. Пайерлсом в книжке "Сюрпризы в теоретической физике".

[pppppppo_98]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1631179 писал(а):

Ну и, на мой взгляд, признаком безграмотности служит запись шпура оператора $e^{-\beta \hat{H}}$ в виде двойной суммы по энергиям; надо суммировать диагональные элементы по квантовым числам, а не по значениям энергии.

тут дело какое... ранее был найден пропагатор кулоновского поля - вот они к нему и пытаются путь дорогу найти

PS

У меня вопрос то в следующем ... Таких спектров с накоплением (когда разница между соседними уровнями стремится к 0) в квантовой механике и не сосчитать (любой атом), и везде этот страннный подход (а давайте не париться)... ну хорошо в земных условиях не паримся - но в звездах или на юпитере уже нужно париться

[pppppppo_98]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1631179 писал(а):

Ну и, на мой взгляд, признаком безграмотности служит запись шпура оператора $e^{-\beta \hat{H}}$ в виде двойной суммы по энергиям; надо суммировать диагональные элементы по квантовым числам, а не по значениям энергии.

тут дело какое... ранее был найден пропагатор кулоновского поля - вот они к нему и пытаются путь дорогу найти

PS

У меня вопрос то в следующем ... Таких спектров с накоплением (когда разница между соседними уровнями стремится к 0) в квантовой механике и не сосчитать (любой атом), и везде этот страннный подход (а давайте не париться)... ну хорошо в земных условиях не паримся - но в звездах или на юпитере уже нужно париться