2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Статсумма атома воорода
Сообщение25.02.2024, 11:56 


29/01/09
686
Во всех ранее мною читанных источниках по статмеханике газов начиная от Ландавшица заканчивая справочником Глушко все в один голос пишут дескать в связи с расходимостью ряда $Z_d=2 \sum_{n=1}^\infty n^2 e^{\frac{\beta E_0}{n^2}}$ - давайте ограничимся для практических целей 1,2,3 первыми членами да и успокоимся. Ну подход как подход. Однако... Тут нашел вот такую работу https://www.sciencedirect.com/science/a ... 7119312580

Там обходят эту проблему, известным символическим методом в матфизике с помощью функции Римана (кто не в курсе это метод с помощью которого можно вывести что $1+2+\dots  +n +\dots=-\frac{1}{12}$ ).
Сказано -сделано. Авторы получают вот такую замкнутую формулу

$$Z_d=-\beta E_0 + 2\sum_{m=2}^\infty (\beta E_0)^m \frac{\zeta(2(m-1))}{m!} $$
к этой части у меня вопросов нет.($-E_0=\frac{\mu Z^2 e^4}{2 \hbar^2}$ - основной уровень водородоподобного иона с зарядом ядра Z и приведенной массой $\mu$)

Вопрос в другом. Авторы приводят еще континуальную часть статсуммы. И вот тут у меня вопрос. Сначала они приводят волновые функции атома водорода для непрерывного спектра (переписывать не буду кому надо найдет в ландавшице). Из них следует что при данном E: a)во первых есть решение типа сходящейся и расходящейся волны; б) и как должно существует бесконечная серия решений с разными моментами $l\in\mathcal{Z}_+$. При этом авторы пишут далее что континуальная часть статсуммы $Z_c=\frac{1}{2\pi\hbar}\int\limits_0^\infty dE\, e^{-\beta E}$

А где учтено указанное вырождение? В ландавшице когда обсуждается аналогичный подход статсуммах континуальных спектров таки пишут другой несколько интеграл $Z_c=\int e^{-\beta E} dn(E)$, где отношение мер $\frac{dn(E)}{d E}$ (плотность число состояний в интервале dE)- может быть крайне нетривиальным. Нет ли тут спецов в матфизике и дифференциальных операторах которые бы нормально смогли разьяснить чо да как

 Профиль  
                  
 
 Re: Статсумма атома воорода
Сообщение25.02.2024, 23:56 
Заслуженный участник


29/09/14
1248
pppppppo_98 в сообщении #1630835 писал(а):
А где учтено указанное вырождение?
Авторы его не учли. Это ошибочная статья (так думаю, хотя я и не спец в матфизике).

 Профиль  
                  
 
 Re: Статсумма атома воорода
Сообщение26.02.2024, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Разумеется это описка или ошибка: д.б. $dn(E)$. Разумеется надо посмотреть, что у них там дальше

 Профиль  
                  
 
 Re: Статсумма атома воорода
Сообщение26.02.2024, 01:08 


29/01/09
686
Cos(x-pi/2) в сообщении #1630897 писал(а):
Это ошибочная статья

но к дискретной части у меня претензий нет ...

-- Пн фев 26, 2024 02:17:40 --

Red_Herring в сообщении #1630904 писал(а):
Разумеется надо посмотреть, что у них там дальше


статья нужна ... могу выложить... Дальше они берут указанный мной интеграл и успокаиваются получая $\frac{1}{\beta h}$... что кроме того тут же напрягает ибо величина размерная... с мерами короче там как-то не очень... Уних в ссылках (4)есть другая статья где так же делается подход к получению статсуммы через пропагатор кулоновского потенциала, но пока не разобрался. Единственной что понял что все проблемы как водятся идут от некомпактного многообразия. А случаем никто не знает решения уравнения Шредингера для потенциала аналогичного кулоновскому (то есть порождашегося единичным заялом) в пространстве $\mathcal{S}^3$ нет ли в относительно простом виде?

 Профиль  
                  
 
 Re: Статсумма атома воорода
Сообщение26.02.2024, 01:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
pppppppo_98 в сообщении #1630905 писал(а):
статья нужна ... могу выложить

Надо просто смотреть, используют дальше они правильную формулу, с $n(E)$ или неправильную. В первом случае это описка, во втором ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Статсумма атома воорода
Сообщение26.02.2024, 02:55 
Заслуженный участник


29/09/14
1248
На мой взгляд они вообще какую-то ерунду пишут:


Изображение


и потом вот так:


Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Статсумма атома воорода
Сообщение28.02.2024, 03:16 


29/01/09
686
Cos(x-pi/2) в сообщении #1630912 писал(а):
На мой взгляд они вообще какую-то ерунду пишут:

а поподробнее.... У меня претенезии пока только $\mathcal{Z}_{cont}$

Все остальное переписывание формул . В 4.2 они взяли интеграл по континуальной части статсуммы (!!! к которой у меня изначальные претензии), но интеграл взят правильно. Дискретную они регуляризовывают (тоже у меня претензий пока нет - я видел такие манипуляций с расходящимися рядами, что бы это вызвало у меня отторжение)

 Профиль  
                  
 
 Re: Статсумма атома воорода
Сообщение28.02.2024, 03:35 
Заслуженный участник


29/09/14
1248
Подробнее Вы и сами уже всё написали: неверно они пишут континуальную часть (хотя детский интеграл сосчитали правильно, вот ещё не хватало чтобы они не сумели бы его сосчитать :-) ).

А именно: а) плотность состояний они не учли, б) к безразмерному вкладу от дискретного спектра прибавляют свою ошибочную размерную континуальную часть, в) и это не опечатка, т.к. этот ошибочный интеграл у них написан в четырёх местах и вычислен.

Ну и, на мой взгляд, признаком безграмотности служит запись шпура оператора $e^{-\beta \hat{H}}$ в виде двойной суммы по энергиям; надо суммировать диагональные элементы по квантовым числам, а не по значениям энергии. (Правда, для атома водорода они в итоге написали-таки сумму по $n$ и вырождение дискретного спектра учли). А для непрерывного спектра у них написан двойной интеграл по энергии без учёта плотности состояний - никчёмная запись, в итоге ошибочная.

-- 28.02.2024, 03:52 --

Их манипуляцию с расходящимся рядом комментировать воздержусь (это дело опытных теоретиков, а я в такой математике не спец). Мне представляются более-менее понятными физические соображения, написанные по поводу этого сюжета Р. Пайерлсом в книжке "Сюрпризы в теоретической физике".

 Профиль  
                  
 
 Re: Статсумма атома воорода
Сообщение28.02.2024, 16:35 


29/01/09
686
Cos(x-pi/2) в сообщении #1631179 писал(а):
Ну и, на мой взгляд, признаком безграмотности служит запись шпура оператора $e^{-\beta \hat{H}}$ в виде двойной суммы по энергиям; надо суммировать диагональные элементы по квантовым числам, а не по значениям энергии.

тут дело какое... ранее был найден пропагатор кулоновского поля - вот они к нему и пытаются путь дорогу найти

PS

У меня вопрос то в следующем ... Таких спектров с накоплением (когда разница между соседними уровнями стремится к 0) в квантовой механике и не сосчитать (любой атом), и везде этот страннный подход (а давайте не париться)... ну хорошо в земных условиях не паримся - но в звездах или на юпитере уже нужно париться

 Профиль  
                  
 
 Re: Статсумма атома воорода
Сообщение28.02.2024, 16:35 


29/01/09
686
Cos(x-pi/2) в сообщении #1631179 писал(а):
Ну и, на мой взгляд, признаком безграмотности служит запись шпура оператора $e^{-\beta \hat{H}}$ в виде двойной суммы по энергиям; надо суммировать диагональные элементы по квантовым числам, а не по значениям энергии.

тут дело какое... ранее был найден пропагатор кулоновского поля - вот они к нему и пытаются путь дорогу найти

PS

У меня вопрос то в следующем ... Таких спектров с накоплением (когда разница между соседними уровнями стремится к 0) в квантовой механике и не сосчитать (любой атом), и везде этот страннный подход (а давайте не париться)... ну хорошо в земных условиях не паримся - но в звездах или на юпитере уже нужно париться

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group