Движение частицы в необычном поле

[Poehavchij]

warlock66613
Да, выше это уже замечали
Более того, при V = 0 очевидно что действие это $\frac{m}{2} v_x^2 \tau$, и минимум дейтвия будет при v_x = 0, что бред.
Ладно, мы поняли что ответ бред, я даже смог доказать это с помошью неравенств
Предлагаю не искать корни страшного уравнения, а сосредоточиться на другом вопросе: Почему я (и авторы задачника) все таки получил этот неверный ответ из принципа наименьшего действия ? Я не так его использовал ?

-- 26.02.2024, 16:05 --

EUgeneUS
Вы что то умное сказали)) Я не понял

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1630983 писал(а):

Почему я (и авторы задачника) все таки получил этот неверный ответ из принципа наименьшего действия ? Я не так его использовал ?

А можно ссылку, что авторы задачника получили такой же неверный ответ?

-- 26.02.2024, 16:15 --

Poehavchij в сообщении #1630983 писал(а):

Вы что то умное сказали)) Я не понял

Так разбирайтесь. Лагранжиан - это функция (от) чего?

[Poehavchij]

EUgeneUS
Берите любое издание, задача 4.2. Там ответ будет запись либо $v_x = (\frac{2aU}{m \tau})^\frac{1}{3}$ (в издании 2003), либо $v_x = (\frac{2aV}{m \tau})^\frac{1}{3}$ (в издании 2021)

-- 26.02.2024, 16:45 --

EUgeneUS
Лагранжиан функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени
Но я все равно не понял про $v_x$ ((

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1630989 писал(а):

Берите любое издание, задача 4.2. Там ответ будет запись либо $v_x = (\frac{2aU}{m \tau})^\frac{1}{3}$ (в издании 2003), либо $v_x = (\frac{2aV}{m \tau})^\frac{1}{3}$ (в издании 2021)

Я, конечно, поищу, но если у вас есть ссылка под рукой - вышлите, пожалуйста, если не трудно.
У меня есть большие сомнения, что такое решение именно от авторов задачника.

Poehavchij в сообщении #1630989 писал(а):

Лагранжиан функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени
Но я все равно не понял про $v_x$ ((

Все верно. Выше у меня была досадная неточность - вместо "обобщенные скорости" сказал - "обобщенные импульсы"

Если применять принцип наименьшего действия и записывать по-честному, то $v_x$ - это должна быть именно (обобщенная) скорость. Впрочем, из получившися уравнений Эйлера-Лагранжа, мы получим что и так знаем.
Вы же используете $v_x$ как некий параметр при расчете действия. Но в этом случае (в таком виде) Вы потеряли условие, что материальная точка должна прийти в точку $(a, a)$.

[amon]

Poehavchij в сообщении #1630976 писал(а):

Теперь вопрос в другом, почему принципом наименьшего действия я получаю неверный ответ

Потому, что Вы слишком лихо обошлись с вариационным принципом. То, что $v=\operatorname{const}$ должно получаться само, а результатом варьирования должны быть уравнения движения. Вы же сразу подставили ответ и начали чего-то дифференцировать, что с вариационным принципом имеет мало общего.

-- 26.02.2024, 17:49 --

Если писать правильно, то надо варьировать функционал

$$ \int\limits_{0}^{\tau}\left( \frac{m}{2}v_x^2(t) + \frac{m}{2}v_y^2(t) dt - V \theta(x(t))\right)dt , $$

из которого ничего интересного, кроме уравнений движения не проистечет.

[Poehavchij]

EUgeneUS
https://obuchalka.org/20210910136190/sb ... -2001.html
Издание 2021 не помню уже где нашел, так что кину 2001. В 2021 Вместо U стоит V.

-- 26.02.2024, 18:11 --

amon
Я через время прочитаю более детальней, но сразу хотел отметить что я решал задачу по аналогии с 4.1, где в ответе действовали приблизительно как я. Взяли параметр А, остальные выразили через него, посчитали действие, продифференциировали его и нашли при каком А он минимален. Но та задача была в разы проще)

[EUgeneUS]

Poehavchij
Спасибо за ссылку. Да, там в ответах неверное.
Надо бы более ранние издания посмотреть.
Когда я учился, у нас этот задачник был тонкий и без решений

amon в сообщении #1630997 писал(а):

из которого ничего интересного, кроме уравнений движения не проистечет.

Проистечёт уравнение четвертого порядка

EUgeneUS в сообщении #1630972 писал(а):

У меня получилась такая система:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \tau^2 - \sigma^2 = A\\ \frac{1}{\tau} + \frac{1}{\sigma}= 1\\ \end{array} \right.$$

Тут у меня неудачные обозначения (переобозначил $\tau$). Пусть будет так:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \rho^2 - \sigma^2 = A\\ \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\sigma}= 1\\ \end{array} \right.$$

Где:
$v_y = \frac{a}{\tau}$
$v_x_0$ - скорость по оси $Ox$ слева
$v_x_1$ - скорость по оси $Ox$ справа
$\rho = \frac{v_x_0}{v_y}=\frac{v_x_0 \tau}{a}$
$\sigma = \frac{v_x_1}{v_y}=\frac{v_x_1 \tau}{a}$
$A = \frac{2V}{m v_y^2} = \frac{2V \tau^2}{m a^2}$

Первое уравнение в системе - это ЗСЭ, второе - условие попадания в точку $(a,a)$, $(1,1)$ - в новых координатах.

-- 26.02.2024, 18:34 --

Также в новых координатах: время движения $\tilde{\tau} = 1$, характерный размер $\tilde{a}=1$, характерная скорость, она же скорость по вертикали: $\tilde{v_y} = 1$.

(Оффтоп)

А то утомился размерные множители таскать

-- 26.02.2024, 18:52 --

А теперь нахождение траектории через принцип наименьшего действия.

В новых координатах,
Лагранжиан слева: $L_0 = \rho^2$
Лагранжиан справа: $L_1 = \sigma^2 - A$

А теперь важно: для расчета $\sigma^2$ мы должны использовать не закон сохранения энергии (первое уравнение), а условие попадания в точку $(1,1)$, то есть второе уравнение.
Тогда лагранжиан справа: $L_1 = (\frac{\rho}{\rho - 1})^2 - A$
Введем параметр $0<\beta<1$ - координата (новая) пересечения оси ординат. Так же $0<\beta<1$ - это доля от времени (единицы), когда будет пересечена ось ординат.
И запишем действие:

$$S = \int\limits_{0}^{\beta} L_0 d t+ \int\limits_{\beta}^{1} L_1 d t$$

обратим внимание, что $\beta$ в выражения для лагранжианов не входит.
Поэтому условие стационарного действия:

$$\frac{d S}{d \beta} = L_0 - L_1 = 0$$

откуда:

$$\rho^2 - (\frac{\rho}{\rho - 1})^2 + A=0$$

Ну и получили обратно уравнение 4-й степени.
Как-то так.

[Poehavchij]

EUgeneUS
Я предлагаю не пытаться решить это ибо это чисто математика которая вряд ли даст что то полезное.
Я прочитал оба ответа, вдумался, и не понял)
Я думаю что подход, основанный на том что бы считать интеграл действия, а потом искать его минимум дифференциированием параметров верным ( в том случае если мы знаем вид закона движение(линейная функция, квадратичная), но не знаем параметры (или предполагаем что он выполняется с определенной точностью как линейная функция/квадратичнаая) как и предполагается в задачах) по двум причинам:
1)Из-за задачи 4.1 в которой этот подход работает
2)Из-за того, что если попытаться найти параметры из законов сохранения как я и пытался, и непрерывности по Х (т.е. $x_1(t_0) = x_2(t_0)$ ибо тректория непрерывна ибо точка не может телепортироваться ), и попытаться найти найти параметры с помошью метода предложеным Варлоком,а именно посчитать действия, и найти его минимум дифференциированием параметром $t_0$, и $y_0$, то при дифференциировании по $t_0$ то мы получим для $t_0$ ОДНО И ТОЖЕ УРАВНЕНИЕ (я проверял), т.е. и тут это работает.
Мой метод, в котором я ищу дифференциированием $v_x$ (параметра $ A_1 $ если угодно) дает не верный результат, и пока я еще не прочувствовал разницу между этими методами

[amon]

Poehavchij в сообщении #1631000 писал(а):

Я через время прочитаю более детальней, но сразу хотел отметить что я решал задачу по аналогии с 4.1, где в ответе действовали приблизительно как я.

В этой задаче Вы проделали то, что просили не задумываясь о последствиях. Принцип наименьшего действия состоит в том, что уравнения Эйлера-Лагранжа для вариационной задачи с фиксированными концами при $L=T-U$ совпадают с уравнениями Ньютона. Все остальное - от лукавого.
Касательно задачи. Выберем $a$ и $\tau$ в качестве единиц длины и времени, чтобы не таскать лишних параметров. Тогда из простой геометрии

$$\begin{align} y_1(x)&=k_1(x+1),\,x<0\\ y_2(x)&=k_2(x-1)+1,\,x>0\\ k_1+k_2&=1\\ k^2&=\frac{1}{v_x^2}\\ \frac{1}{k_1^2}&=\frac{1}{k_2^2}+U\\ k_1&\equiv \sin^2\alpha,\, k_2\equiv \cos^2\alpha\\ \frac{16\cos2\alpha}{\sin^4 2\alpha}&=2U. \end{align}$$

Дальше решай кто может. (Математика выдает малообозримый ответ.)

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1631010 писал(а):

Мой метод, в котором я ищу дифференциированием $v_x$ (параметра $ A_1 $ если угодно) дает не верный результат, и пока я еще не прочувствовал разницу между этими методами

Как справедливо заметил уважаемый amon

amon в сообщении #1631012 писал(а):

В этой задаче Вы проделали то, что просили не задумываясь о последствиях.

В результате, когда Вы ввели параметр $v_x$, у Вас концы разъехались.
Просто представьте, что Вы сделали физически.
У Вас есть некая фиксированная скорость по вертикали. Вы варьируете скорость по горизонтали. На границе разделения сред у Вас как-то траектория преломляется... А где гарантия, что Вы попали в точку $(a,a)$?! Никто Вам такой гарантии при таком варьировании не давал!
Поэтому нужно писать условие на попадание в $(a,a)$, так чтобы при любом значении параметра, по которому варьируете, Вы туда попадали. Ну и получите ровно то, что получите при применении законов Ньютона.
Опять же, как справедливо отметил уважаемый amon

[Poehavchij]

EUgeneUS
Так вроде гарантия в том что я попадаю в точку $(a,a)$ в том, что я ищу траекторию в виде $x_2 = v_x (t- \tau) + a$

-- 26.02.2024, 19:29 --

amon
Я привык к немного другому определению принципа наименьшего действия, мол реальное движение системы такое, при котором действие имеет экстремальное значение

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1631017 писал(а):

Так вроде гарантия в том что я попадаю в точку $(a,a)$ в том, что я ищу траекторию в виде $x_2 = v_x (t- \tau) + a$

А тут, что такое $v_x$?

Если Вы считаете $v_{x_2}^2 = v_{x_1}^2 - \frac{2V}{m}$, то два варианта:
а) либо у Вас нет гарантии, что попали в точку $(a,a)$
б) либо у Вас нет гарантии, что участки траектории состыковались при $x=0$

Вот тут, например:

Poehavchij в сообщении #1630971 писал(а):

Ответ для $x_1$ это$ x_1 = v_x t - a$, тогда $t_0 = \frac{a}{v_x}$
Ответ для $x_2$ это $x_2 = \sqrt{v_x^2 - \frac{2V}{m}}(t-\tau) + a$

Подставьте $t_0$, найденное из первого уравнения во второе. И что, получится $x_2(t_0)=0$? А должно.

[Poehavchij]

EUgeneUS
Нет, не получиться. Именно поэтому этот ответ не верный.
Ок, тогда почему метод предложенный Варлоком дает верное уравнение ?

[EUgeneUS]

Poehavchij в сообщении #1631020 писал(а):

Нет, не получиться. Именно поэтому этот ответ не верный.

Вообще говоря, если таки подставить, что опять же получим уравнение 4-й степени на $v_x$, корень которого и будет ответом. Там, кстати, ещё поисследовать нужно, так как корней будет как минимум два. Какой-то будет лишним.

[amon]

Poehavchij в сообщении #1631017 писал(а):

Так вроде гарантия в том что я попадаю в точку $(a,a)$ в том, что я ищу траекторию в виде $x_2 = v_x (t- \tau) + a$

В вашем "функционале" торчит буковка $t_0,$ которую вы считаете константой. Для того, что бы траектория была непрерывной при изменении $v$ надо каждый раз подбирать $t_0,$ то есть, $t_0$ зависит от скоростей.