Бифуркация Хопфа

[Dedekind]

Имеется система

$$\dot{x} = f_1(x,y) = -ax+y+x(x^2+y^2)-a\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$\dot{y} = f_2(x,y) = -x-ay+y(x^2+y^2)-a\dfrac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$a$ - изменяемый параметр. Необходимо доказать, что при некотором критическом значении $a_c$ происходит бифуркация Хопфа в точке $(0,0)$.

Я застрял на этапе линеаризации системы в окрестности этой точки. Вроде как, чисто интуитивно очевидно, что первые два слагаемых в каждом уравнении системы - это единственные линейные члены. Тогда якобиан можно записать как

$$ J=\begin{pmatrix} -a & 1 \\ -1 & -a \end{pmatrix} $$

и дальше уже классифицировать. Численные эксперименты это вроде подтверждают.
Но если пытаться составить якобиан по определению, через частные производные, то, например,

$$\dfrac{\partial f_1}{\partial y} = 1+2xy+\dfrac{ax^3y}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}$$

не определена в точке $(0,0)$.
Как быть в таком случае?

[GAA]

Так и правые части системы не определены в начале координат. Если они ($f_1$ и $f_2$ )в нуле равны нулю, то можно найти частные производные в нуле («по определению»). А в чём вопрос? Что в изучаемой Вами теории требуется от правых частей системы уравнений?

[Dedekind]

GAA в сообщении #1630406 писал(а):

Так и правые части системы не определены в начале координат.

В этом задании предлагают перейти к полярной системе координат, где получается такое уравнение

$$\dot{r} = r^3-ar-ax^2$$

Отсюда делается вывод, что $(0, 0)$ - фиксированная точка. Но про сами функции $f_1, f_2$ в $(0, 0)$ ничего не говорится. Это задание как-то криво составлено, или я чего-то не понимаю?

GAA в сообщении #1630406 писал(а):

Что в изучаемой Вами теории требуется от правых частей системы уравнений?

Видимо, чтобы они были непрерывно дифференцируемыми.

[GAA]

По смыслу упражнения начало координат — точка покоя (по-другому, стационарная точка). Следовательно, правые части в ней должны быть равны нулю. [Возможно слегка небрежно составлено задание, но вроде недоразумений обычно не возникает.]

Я используемую Вами книгу не читал, но обычно (переформулировав для простоты для случая системы двух уравнений) пишется что-то такое
$\dot x = a_{11}x + a_{12}y + r_1(x, y),$ $\dot y = a_{21}x + a_{22}y + r_2(x, y).$
На функции $r_1$ и $r_2$ накладываются ограничения. Например, $\lim_{\rho \to 0} r_1/{\rho} = 0,$ $\lim_{\rho \to 0} r_2/{\rho} = 0;$ $\rho=\sqrt{x^2 + y^2}.$
Если они выполняются, то линеаризованной системой будет
$\dot x = a_{11}x + a_{12}y ,$ $\dot y = a_{21}x + a_{22}y.$
(Если в указанной книге требуется непрерывная дифференцируемость, то немного дольше нужно поработать.)

[Dedekind]

GAA в сообщении #1630430 писал(а):

На функции $r_1$ и $r_2$ накладываются ограничения. Например, $\lim_{\rho \to 0} r_1/{\rho} = 0,$ $\lim_{\rho \to 0} r_2/{\rho} = 0;$ $\rho=\sqrt{x^2 + y^2}.$
Если они выполняются, то линеаризованной системой будет
$\dot x = a_{11}x + a_{12}y ,$ $\dot y = a_{21}x + a_{22}y.$

Ну, в данном случае выполняется, значит линеаризацию я правильно сделал, спасибо.
Я правильно понимаю, что если требовать непрерывной дифференцируемости, то нужно было бы записать систему как-то так:

$$\dot{x} = f_1(x,y)$$

$$\dot{y} = f_2(x,y)$$

где

$$ f_1(x,y)=\[ \begin{cases} -ax+y+x(x^2+y^2)-a\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}} & x\ne 0 \\ 0 & x=0 \\ \end{cases} \] $$

$$ f_2(x,y)=\[ \begin{cases} -x-ay+y(x^2+y^2)-a\dfrac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2}} & x\ne 0 \\ 0 & x=0 \\ \end{cases} \] $$

[GAA]

Из дифференцируемости следует непрерывность (проверьте). Поэтому, если функция дифференцируема в начале координат, то она непрерывная. Естественно указанные функции доопределить по непрерывности в нуле нулём.

[В курсе «Начал анализа» (или подобном курсе) рассматриваются примеры дифференцируемой функции в точке, но не являющейся непрерывно дифференцируемой, как в одномерном, так и в двумерном случае.] Дальше нужно проверить будут ли правые части системы уравнений непрерывно диффернцируемы. [Это если очень хочется удовлетворить требованию именно непрерывной дифференцируемости правых частей. Но вроде в этом упражнении это и не нужно.]

[Dedekind]

GAA в сообщении #1630448 писал(а):

Но вроде в этом упражнении это и не нужно.

Там дальше в упражнении предлагают использовать теорему Бендиксона-Дюлака (Bendixson–Dulac theorem), чтобы установить невозможность замкнутых циклов для $a<0$. А одно из условий применимости этой теоремы - непрерывная дифференцируемость правой части системы. Поэтому ее желательно обеспечить. Правильно ли я понимаю, или можно как-то без этого обойтись?

GAA в сообщении #1630448 писал(а):

Дальше нужно проверить будут ли правые части системы уравнений непрерывно диффернцируемы.

Вроде бы получается (если доопределить по непрерывности). Производные, посчитанные по определению в $(0, 0)$ совпадают с пределом производных при $(x, y)\to (0, 0)$. Получается, можно сделать вывод, что все частные производные существуют и непрерывны, следовательно, правая часть системы непрерывно дифференцируема.

[Dedekind]

Еще один вопрос, который меня беспокоит в этой задаче. Пользуясь теоремой Пуанкаре-Бендиксона хочу показать, что для $a>0$ существует замкнутая фазовая траектория. Для этого я выбираю замкнутую ограниченную область в виде кольца с внутренним радиусом $r_1 = \sqrt{a}$ и внешним радиусом $r_2 = a+1$ и показываю, что на внутренней границе $\dot{r}<0$, а на внешней границе $\dot{r}>0$, где $r = \sqrt{x^2+y^2}$. То есть, имеем какую-то такую картинку.

Если бы ситуация была обратная, то есть все стрелки указывали бы внутрь малиновой области, то выполнялись бы условия теоремы Пуанкаре-Бендиксона, и можно было бы сделать вывод, что внутри области есть устойчивая замкнутая траектория. Теперь, если я сделаю замену $t\to-t$, то в силу автономности системы это приведет к смене направлений всех векторов на фазовой плоскости, т.е. получится такая ситуация, какая нужна для удовлетворения условий теоремы.

Отсюда я делаю вывод, что если в инвертированном времени существует устойчивая замкнутая траектория в этой области, то в обычном времени эта траектория будет неустойчивой замкнутой. Итого, предположение доказано.

Вопрос: насколько валидны такие рассуждения? Возможно, есть источник, где такие случаи разбираются с большей строгостью? Потому что везде где я пока видел, теорему Пуанкаре-Бендиксона применяют именно для поиска устойчивых замкнутых траекторий.

-- 23.02.2024, 15:09 --

GAA, буду благодарен за совет по этим двум вопросам выше.

[Yu_K]

Можно здесь поиграть

[Dedekind]

Yu_K
Спасибо! Я уже поиграл в pplane8 в Матлабе. Бифуркация есть, это несомненно. Но хотелось бы более-менее строго доказать это аналитически.

[Утундрий]

Забавная система. Вы обратили внимание, что точка движется вокруг центра с постоянной угловой скоростью?

[GAA]

1.

Dedekind в сообщении #1630532 писал(а):

Правильно ли я понимаю....

Формулировку Вы не привели, но, возможно, при доказательстве используется функция Грина, а она выводится в курсах основ анализа в предположении непрерывной дифференцируемости. Поэтому, да, непрерывную дифференцируемость надо доказывать.
2.

Dedekind в сообщении #1630666 писал(а):

Если бы ситуация была обратная, то есть все стрелки указывали бы внутрь малиновой области, то выполнялись бы условия теоремы Пуанкаре-Бендиксона, и можно было бы сделать вывод, что внутри области есть устойчивая замкнутая траектория.

Т.е. устойчивый цикл. Но для этого нужно ещё, в общем случае, отсутсвие точек покоя в кольце.

Dedekind в показать, что в кольце нет точек покоя. сообщении #1630666 писал(а):

Отсюда я делаю вывод, что если в инвертированном времени существует устойчивая замкнутая траектория в этой области, то в обычном времени эта траектория будет неустойчивой замкнутой. Итого, предположение доказано.

От определений зависит, нужно смотреть определение неустойчивого цикла. (Плюс отсутствие точек покоя в кольце.)

Dedekind в сообщении #1630666 писал(а):

Возможно, есть источник, где такие случаи разбираются с большей строгостью?

Увы, не подскажу источник. Если что-то встречу / вспомню, то постараюсь написать.

[Dedekind]

Утундрий в сообщении #1631278 писал(а):

Забавная система. Вы обратили внимание, что точка движется вокруг центра с постоянной угловой скоростью?

Верно! А почему забавная?

GAA в сообщении #1631583 писал(а):

Формулировку Вы не привели, но, возможно, при доказательстве используется функция Грина, а она выводится в курсах основ анализа в предположении непрерывной дифференцируемости. Поэтому, да, непрерывную дифференцируемость надо доказывать.

Спасибо. Да, используется теорема Грина. На всякий случай, привожу формулировку теоремы Бендиксона-Дюлака.

Цитата:

Пусть $\dot{\mathbf{x}} =\mathbf{f(x)} $ - непрерывно дифференцируемое векторное поле определенное в односвязном подмножестве $R$ на плоскости. Если существует непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция $g(\mathbf{x})$ такая, что $\nabla\cdot (g\dot{\mathbf{x}})$ имеет один знак на всем $R$, тогда не существует замкнутых орбит, лежащих полностью в $R$.

В моем случае $g(\mathbf{x})=1$.

GAA в сообщении #1631583 писал(а):

Т.е. устойчивый цикл. Но для этого нужно ещё, в общем случае, отсутсвие точек покоя в кольце.

Да, это так. То, что начало координат - это единственная точка покоя системы - я заключил из вот этого факта

Утундрий в сообщении #1631278 писал(а):

точка движется вокруг центра с постоянной угловой скоростью

Следовательно, в кольце точек покоя быть не может.

GAA в сообщении #1631583 писал(а):

От определений зависит, нужно смотреть определение неустойчивого цикла.

В той книге, которую я прохожу (Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics And Chaos), строгое определение устойчивого/неустойчивого цикла не дается. Говорится, что цикл - это изолированная замкнутая траектория. Устойчивый цикл - это такой, к которому стремятся все соседние траектории. Неустойчивый цикл - это такой, от которого они отдаляются. Наполовину устойчивый - когда с одной стороны стремятся, с другой отдаляются.

В одной из тех книг, что Вы советовали в предыдущей теме (Баутин Н.Н, Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости), определение предельного цикла такое. Предельный цикл - это замкнутая траектория, которая является либо $\omega-$, либо $\alpha-$предельной траекторией для всех достаточно близких соседних траекторий. В первом случае предельный цикл - устойчивый, во втором - неустойчивый. Я так понимаю, что это в принципе то же самое, только записанное более строго (если расписать строгое определение $\omega-$ и $\alpha-$предельных траекторий).

[Yu_K]

можно попробовать индекс точки посчитать