Вариация доказательства т.Кантора-Бернштейна

[gosetrov]

Условие:
Пусть $f$ — взаимно однозначное соответствие между $A$ и некоторым подмножеством множества $B$, а $g$ — взаимно однозначное соответствие между $B$ и некоторым подмножеством множества $A$. Докажите, что можно так разбить множество $A$ на непересекающиеся части $A'$ и $A''$, а множество $B$ — на непересекающиеся части $B'$ и $B''$, что $f$ осуществляет взаимно однозначное соответствие между $A'$ и $B'$, а $g$ — между $A''$ и $B''$.

Решение: $f: B_1 \to A_0$, $g: A_1 \to B_0$, где $B_0 = B$ и $A_0 = A$. Тогда прообразом $B_1$ будет $A_2$ и $g(A_1\setminus A_2) = B_0 \setminus B_1$ и давайте закрасим $A_1\setminus A_2, B_0 \setminus B_1$ голубым цветом. Проведем аналогичную операцию в обратную сторону построив множество $B_2$ и закрасив $A_0\setminus A_1, B_1 \setminus B_2$ оранжевым цветом. В $A_2$ мы можем найти прообраз $B_2$, пусть $f(A_3) = B_2$ и в $B_2$ прообраз $A_2$ пусть $f(B_3) = A_2$, т.о. отбросив закрашенные части мы увидим что мы находимся в том же состояние что и в начале и тогда продолжим закрашивание аналогичным образом. Пусть $A_C = \bigcap\limits_{i}^{\infty}A_i$, $B_C = \bigcap\limits_{i}^{\infty}B_i$, заметим что $g(A_i) = B_{i-1}$, тогда $g(A_C) = B_C$. Тогда объеденим все части раскрашенные голубым цветом и $A_C$ будет искомое $A''$ и $B'' = g(A'')$, о оставшееся(и раскрашенное оранжевым цветом) будет $A', B'$ соответсвенно.

Разберем более подробно почему $g(A_C) = B_C$. Пусть $g(A_C) \supset B_C$ и $b \in g(A_C) \setminus B_C$. Тогда $b$ принадлежит всем $B_i$ до определенного индекса $k$ и $b \notin B_{k+1}$ тогда $g(A_{k+2}) = B_{k+1}$ и прообраз $b$ не может лежать в $A_C$ - противоречие. Пусть тогда $g(A_C) \subset B_C$ и $b \in B_C \setminus g(A_C)$, тогда b принадлежит всем $g(A_i)$ до определенного индекса $k$ но тогда b принадлежит всем $B_i$ только до $k+1$ и не может лежать в $B_C$. Тогда остается только $g(A_C) = B_C$.

Вопрос, наверное, про доказательство этого $g(A_C) = B_C$(потому что раскрашивание более менее кажется достоверным), верно ли оно?

[gosetrov]

Это $g(A_C) = B_C$ еще можно так показать:
Для биекции верно $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$( $f(A) \supset f(A \cap B), f(B) \supset f(A \cap B) \Rightarrow f(A) \cap f(B)$ \supset f(A \cap B) $, а лищних элементов там быть не может потому что значение $f$ может совпадать только в пересечение прообразов). Тогда $f(A_C) = \bigcap\limits_{i}^{\infty}f(A_i) = \bigcap\limits_{i}^{\infty}B_i = B_C$.