Условие:
Пусть

— взаимно однозначное соответствие между

и некоторым подмножеством множества

, а

— взаимно однозначное соответствие между

и некоторым подмножеством множества

. Докажите, что можно так разбить множество

на непересекающиеся части

и

, а множество

— на непересекающиеся части

и

, что

осуществляет взаимно однозначное соответствие между

и

, а

— между

и

.
Решение:

,

, где

и

. Тогда прообразом

будет

и

и давайте закрасим

голубым цветом. Проведем аналогичную операцию в обратную сторону построив множество

и закрасив

оранжевым цветом. В

мы можем найти прообраз

, пусть

и в

прообраз

пусть

, т.о. отбросив закрашенные части мы увидим что мы находимся в том же состояние что и в начале и тогда продолжим закрашивание аналогичным образом. Пусть

,

, заметим что

, тогда

. Тогда объеденим все части раскрашенные голубым цветом и

будет искомое

и

, о оставшееся(и раскрашенное оранжевым цветом) будет

соответсвенно.
Разберем более подробно почему

. Пусть

и

. Тогда

принадлежит всем

до определенного индекса

и

тогда

и прообраз

не может лежать в

- противоречие. Пусть тогда

и

, тогда b принадлежит всем

до определенного индекса

но тогда b принадлежит всем

только до

и не может лежать в

. Тогда остается только

.
Вопрос, наверное, про доказательство этого

(потому что раскрашивание более менее кажется достоверным), верно ли оно?