2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вариация доказательства т.Кантора-Бернштейна
Сообщение18.02.2024, 17:07 


19/01/24
33
Условие:
Пусть $f$ — взаимно однозначное соответствие между $A$ и некоторым подмножеством множества $B$, а $g$ — взаимно однозначное соответствие между $B$ и некоторым подмножеством множества $A$. Докажите, что можно так разбить множество $A$ на непересекающиеся части $A'$ и $A''$, а множество $B$ — на непересекающиеся части $B'$ и $B''$, что $f$ осуществляет взаимно однозначное соответствие между $A'$ и $B'$, а $g$ — между $A''$ и $B''$.

Решение: $f: B_1 \to A_0$, $g: A_1 \to B_0$, где $B_0 = B$ и $A_0 = A$. Тогда прообразом $B_1$ будет $A_2$ и $g(A_1\setminus A_2) = B_0 \setminus B_1$ и давайте закрасим $A_1\setminus A_2, B_0 \setminus B_1$ голубым цветом. Проведем аналогичную операцию в обратную сторону построив множество $B_2$ и закрасив $A_0\setminus A_1, B_1 \setminus B_2$ оранжевым цветом. В $A_2$ мы можем найти прообраз $B_2$, пусть $f(A_3) = B_2$ и в $B_2$ прообраз $A_2$ пусть $f(B_3) = A_2$, т.о. отбросив закрашенные части мы увидим что мы находимся в том же состояние что и в начале и тогда продолжим закрашивание аналогичным образом. Пусть $A_C = \bigcap\limits_{i}^{\infty}A_i$, $B_C = \bigcap\limits_{i}^{\infty}B_i$, заметим что $g(A_i) = B_{i-1}$, тогда $g(A_C) = B_C$. Тогда объеденим все части раскрашенные голубым цветом и $A_C$ будет искомое $A''$ и $B'' = g(A'')$, о оставшееся(и раскрашенное оранжевым цветом) будет $A', B'$ соответсвенно.

Разберем более подробно почему $g(A_C) = B_C$. Пусть $g(A_C) \supset B_C$ и $b \in g(A_C) \setminus B_C$. Тогда $b$ принадлежит всем $B_i$ до определенного индекса $k$ и $b \notin B_{k+1}$ тогда $g(A_{k+2}) = B_{k+1}$ и прообраз $b$ не может лежать в $A_C$ - противоречие. Пусть тогда $g(A_C) \subset B_C$ и $b \in  B_C \setminus g(A_C)$, тогда b принадлежит всем $g(A_i)$ до определенного индекса $k$ но тогда b принадлежит всем $B_i$ только до $k+1$ и не может лежать в $B_C$. Тогда остается только $g(A_C) = B_C$.

Вопрос, наверное, про доказательство этого $g(A_C) = B_C$(потому что раскрашивание более менее кажется достоверным), верно ли оно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вариация доказательства т.Кантора-Бернштейна
Сообщение19.02.2024, 16:43 


19/01/24
33
Это $g(A_C) = B_C$ еще можно так показать:
Для биекции верно $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$( $f(A) \supset f(A \cap B), f(B) \supset f(A \cap B) \Rightarrow f(A) \cap f(B)$ \supset f(A \cap B) $, а лищних элементов там быть не может потому что значение $f$ может совпадать только в пересечение прообразов). Тогда $f(A_C) = \bigcap\limits_{i}^{\infty}f(A_i) = \bigcap\limits_{i}^{\infty}B_i = B_C$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group