2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Нестандартный анализ без матлогики
Сообщение19.02.2024, 00:09 


22/10/20
1243
Ха! :-) А ведь получилось!

Докажем, что для любого гипердействительного числа $y \geqslant 0$ существует гипердействительное число $x \geqslant 0$ такое, что $x^2 = y$.

Доказательство:

Вспомним, что вообще такое гипердействительное число $y$. Это класс эквивалентности $[Y]$, состоящий из некоторых действительнозначных последовательностей. Возьмем произвольную такую последовательность $Y$ из этого класса. Из $y \geqslant 0$ следует, что $M = \{n \in \mathbb N| Y(n) \geqslant 0\} \in F$ (где $F$ - свободный ультрафильтр из второго сообщения этой темы). Рассмотрим последовательность $X$ такую, что на $\mathbb N \backslash M$ она задана как угодно, а на $M$ она задана так: $X(n) = \sqrt{Y(n)} (\forall n \in M)$. Легко показать, что эта последовательность является корректно определенной (т.к. из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь корень). Положим $x := [X]$. Докажем, что $x^2 = y$.

$x^2 = [X] \cdot [X] = [X \cdot X] = [Z]$

На $M$ $Z$ в точности совпадает с $Y$, а этого достаточно, чтобы утверждать, что $[Z] = [Y]$ (т.к. множество $K$, на котором $Z$ и $Y$ совпадают, будет являться надмножеством множества $M$, а само $M$ принадлежит ультрафильтру, значит и $K$ будет принадлежать ультрафильтру).

Таким образом, $x^2 = [Z] = [Y] = y$, чтд.

-- 19.02.2024, 00:10 --

Geen в сообщении #1630163 писал(а):
А как из существования следует возможность "фиксации"?
Просто выберите любой из существующих.

-- 19.02.2024, 00:21 --

Mikhail_K в сообщении #1630162 писал(а):
Подозреваю, что подойдёт ровно такое же доказательство, как и для $\mathbb{R}$.
Хмм.. Сомневаюсь... В вещественном случае мы конкретно и по полной программе используем полноту. Гипервещественные не полны, поэтому дословно скорее всего не получится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group