Интервалы между простыми числами.

[Батороев]

gris в сообщении #1614282 писал(а):

решусь предложить поменять знаки в формуле:
$(p_{t}\cdot k)= \dfrac{2\cdot (p_{t}+2)}{2+(\psi(t)+1)\cdot p_{t}}$
Тогда теорема верна!

Такой вариант не очень хорош тем, что высчитывая $\psi (t)$, мы используем все простые до $p_{t}$, а $(p_{t}\cdot k)<p_{t}$, т.е. исследуем то, что нам уже должно быть известно.

-- 24 окт 2023 20:11 --

Новая редакция:

Постулат:
Между числами $p_{t}>127$ и $n=(p_{t}+2)\cdot {7}^{ 0,25}\cdot {3}^{0,5}\cdot\prod\limits_{i=2}^{t}\left(\dfrac{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}{p_i^2}\right)$

$i$ - порядковый номер простого числа во множестве простых чисел,

должно существовать, как минимум, одно простое число.

[gris]

Ну тут получается интервал $\approx (p_t, 2.8p_t)$

[Батороев]

gris в сообщении #1614495 писал(а):

Ну тут получается интервал $\approx (p_t, 2.8p_t)$

Вроде бы от $p_{t}$ до $1,067 p_{t}$

-- 24 окт 2023 21:18 --

Если грубо, то $ \frac {2,82}{2,64} \approx 1,068$

[gris]

Батороев, ой, произведение-то забыл
Тогда $7^{0.25}\cdot 3^{0.5}\cdot \prod\approx 1.63\cdot 1.73\cdot 0.38 =1.07$
Да, это похоже: 131/127 = 1.031496,
хотя 149\139= 1.071942446, но дальше меньше.
Отличный результат!

[gris]

Так там же $p_t+2$, то есть надо 149/141=1.057, так что 127 как раз.
Вы правы!

[waxtep]

Тут, с одной стороны, можно взять сколь угодно малое постоянное $\epsilon$ (или, даже $\epsilon=\epsilon(n)$, достаточно медленно убывающее с ростом $n$), чтобы для любого $n>n_0(\epsilon)$ было вот так:

vicvolf в сообщении #1614466 писал(а):

Это можно обобщить и взять натуральное $n$ вместо простого числа и вместо $k$ взять $1+\epsilon$. Тогда на основании известного закона о простых числах можно по $\epsilon$ подобрать $n$, что хотя бы одно простое число находилось между $n$ и $(1+\epsilon)n$.

А с другой, нахождение $n_0(\epsilon)$ и доказательство для конкретного $\epsilon$ уже для $\epsilon=1/5$ выглядит нудновато: доказательство. В английской вики в статье про постулат Бертрана приведено еще несколько конкретных $\epsilon$, например $\epsilon(n)=\dfrac1{5000\ln^2n}, n_0=468991632$. В общем, это вполне законный спорт

[Батороев]

gris в сообщении #1614527 писал(а):

Батороев
Отличный результат!

Спасибо!
Но не оставляет подозрение, что этот результат улучшаемый!

-- 25 окт 2023 09:53 --

waxtep
Был бы спорт, но теоретическая подоплека под моими выкладками все же существует. Надо в них только досконально разобраться. А это-то пока у меня и не получается. (((

[waxtep]

Батороев, я про спорт в исключительно положительном смысле, - что люди этим занимаются, задача представляет интерес для математического сообщества. Примеры более сильных результатов можно в упомянутой статье в англовики посмотреть, в самом конце

[vicvolf]

waxtep в сообщении #1614569 писал(а):

А с другой, нахождение $n_0(\epsilon)$ и доказательство для конкретного $\epsilon$ уже для $\epsilon=1/5$ выглядит нудновато

Мне кажется можно проще. Обозначим $\pi(x)$ - количество простых чисел не превосходящих $x$. Тогда количество простых чисел между $x$ и $x+\epsilon x$, где $\epsilon$ - маленькое положительное число, будет - $\pi(x+\epsilon x)-\pi(x)$. Оно должно быть не меньше $1$, т.е. $\pi(x+\epsilon x)-\pi(x) \geq 1$.(1)
Напомним, что асимптотический закон о простых числах можно записать в виде: $\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$ или $\pi(x) = \frac{x(1+o(1))}{\ln x}$.(2)
Тогда на основании (1) и (2), учитывая, что $\epsilon$ - маленькое положительное число, получим:
$\pi(x+\epsilon x)-\pi(x)=(1+o(1))(\frac{x+\epsilon x}{\ln(x+\epsilon x)}-\frac{x}{\ln x})=$$(1+o(1))\frac{\epsilon x}{\ln x} \geq 1$ или $\epsilon x \geq \ln x$. (3) Так как при больших $x$ значение $1+o(1)$ мало отличается от 1.
На основании (3) по $\epsilon$ можно выбрать $x_0$, что при $x \geq x_0$ будет выполняться (1). Например, при $\epsilon=0,01$ значение $x_0=e^{10}$.

[Батороев]

waxtep в сообщении #1614635 писал(а):

Батороев, я про спорт в исключительно положительном смысле, - что люди этим занимаются, задача представляет интерес для математического сообщества.

Ну, коли так...
"Между простым числом $p_{t}$ и числом $(1+\frac {2}{p_{t}^{2/3}})\cdot \frac {(p_{t}+2)^3}{(p_{t}-2)^2}$ всегда найдется простое число (исключение $p_{t}=1327$)".

[waxtep]

Батороев в сообщении #1629380 писал(а):

"Между простым числом $p_{t}$ и числом $(1+\frac {2}{p_{t}^{2/3}})\cdot \frac {(p_{t}+2)^3}{(p_{t}-2)^2}$ всегда найдется простое число (исключение $p_{t}=1327$)".

Ммм честно говоря, сомнительно, ведь при достаточно больших $p_t$ правый конец интервала это примерно $p_t+10$

[Батороев]

waxtep в сообщении #1629394 писал(а):

Ммм честно говоря, сомнительно, ведь при достаточно больших $p_t$ правый конец интервала это примерно $p_t+10$

Для простого $p_{t}=100483$ правый конец равен: $(1+\frac{2}{100483^{2/3}})\cdot \frac {100485^3}{100481^{2}}=1,00092534\cdot \frac {100485^3}{100481^{2}}=100 585,99=100483+102,99$

[Dmitriy40]

waxtep в сообщении #1629394 писал(а):

ведь при достаточно больших $p_t$ правый конец интервала это примерно $p_t+10$

С чего бы? Правая дробь уходит в $p_i$, а в скобке произведение второго слагаемого на $p_i$ неограниченно растёт как $\frac{2p_i}{p_i^{2/3}}=2\sqrt[3]{p_i}$, почти кубический корень. Это уж точно не доказано.
До $10^9$ других исключений не нашёл.

Отдельно забавно как происходят вбросы неких формул без всякого обоснования (проверка любого конечного интервала обоснованием/доказательством не является). Т.е. их реальная ценность околонулевая.

[waxtep]

Dmitriy40 в сообщении #1629398 писал(а):

Правая дробь уходит в $p_i$, а в скобке произведение второго слагаемого на $p_i$ неограниченно растёт как $\frac{2p_i}{p_i^{2/3}}=2\sqrt[3]{p_i}$, почти кубический корень

Точно, я погорячился

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1629398 писал(а):

Отдельно забавно как происходят вбросы неких формул без всякого обоснования (проверка любого конечного интервала обоснованием/доказательством не является). Т.е. их реальная ценность околонулевая.

Уважаемый Dmitriy40, не большой я любитель вбросов "от фонаря".
Просто в данной теме рассматриваются интервалы, в которых гарантировано должны встретиться простые числа. Поэтому и появилась некоторая "спортивность".

Если рассмотреть выражение без скобки, то можно заметить, что $\dfrac {(p_{t}+2)^3}{(p_{t}-2)^2}$ с достаточно высокой степенью точности описывает следующее за $p_{t}$ простое число, откуда можно предположить, что какое-то обоснование все же имеется... но пока никак не формулируется.