Спрямляемая жорданова кривая

[vpb]

Уважаемые коллеги, не знает ли кто из вас ответ на следующий вопрос (или где про это написано) ?

Пусть $\gamma \subset {\mathbb R}^2$ --- жорданова кривая, притом спрямляемая, и $G$ --- её внутренняя область. На $G\times G$ рассмотрим такое расстояние: $\rho(x,y)$ --- инфимум длин ломаных, лежащих в $G$, с концами $x$ и $y$. Верно ли, что $\rho$ продолжается до непрерывной, относительно обычной евклидовой метрики, функции на $\overline G\times \overline G$, причем при $x,y\in\gamma$ расстояние $\rho(x,y)$ не превосходит длины пути с концами $x$ и $y$ вдоль $\gamma$ ?

(За примерно день я так и не придумал ничего дельного.)

[Padawan]

А что Вы думаете про более частный вопрос: достижима ли любая граничная точка области $G$ по ломаной (с бесконечным числом звеньев) конечной длины, целиком лежащей в $G$, кроме одного своего конца.

[vpb]

Не знаю. Возможно, этот вопрос более-менее эквивалентен исходному (в том смысле, что друг из друга выводятся относительно легко). А сам по себе, видимо, тоже трудный.

(А если Вы знаете ответ и это был намек, благоволите написать подробнее, так как я в упор ничего не вижу.)