Аргумент Куайна-Патнема

[vpb]

EminentVictorians в сообщении #1628370 писал(а):

В теории действительных чисел (конкретной общеизвестной формальной теории первого порядка)

А нет такой теории, товарищ философ. Тем более общеизвестной. То, что в Зориче написано --- не первого порядка. Или поясните, что за теорию вы в виду имеете.

[EminentVictorians]

Ой, да. Конечно. Имел в виду элементарную теорию действительных чисел, которая второго порядка.

Но вообще, можно взять элементарную теорию линейно упорядоченного поля. Она первого порядка, и все сказанное мной остается в силе.

-- 03.02.2024, 22:37 --

Архимедовость, если что, действительно выводится из полноты. Так что зря вы это добавление удалили. (главное помнить, что в качестве полноты нельзя брать голый принцип вложенных отрезков; он, да - требует в пару к себе архимедовость)

[vpb]

EminentVictorians в сообщении #1628379 писал(а):

Так что зря вы это добавление удалили

Тот факт, что архимедовость выводится из полноты, к содержанию данной темы (если тут вообще можно говорить о каком-то содержании) отношения не имеет. Это математика, а не "философия". Затем и удалил. А с философской точки зрения (не с точки зрения "философских" рассуждений в плохом смысле, а с точки зрения нормальной математической практики), такой способ изложения действительных чисел, как у Зорича -- отнюдь не лучший. Хотя и очень распространенный почему-то. Слава богу, нормальный (через дедекиндовы сечения) еще не вымер (см., например, C.C.Pugh, Real Mathematical Analisys. Да и в Рудине так же.)

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1628370 писал(а):

В теории действительных чисел (конкретной общеизвестной формальной теории первого порядка) данная строчка не является формулой (разве что сокращением). Можете, конечно, придумать на коленке какую-нибудь свою теорию, и даже объявить эту строчку её аксиомой, но это малоосмысленно.

Не придумывать, а формализовать ту же теорию действительных чисел. Так что в языке появятся бинарные предикатные символы $\in$ и $>$, унарный функциональный символ $||$ и константа $1$.

P.S. Да, ещё константу $\mathbb R$ забыл.

[PavelFirsov]

EminentVictorians в сообщении #1628370 писал(а):

Это чья-то цитата? Просто мне интересно, почему решили, что квантификация по числам неустранимая.

Нет, это мое приблизительное воспроизведение основной идеи аргумента.
Здесь важна не просто неустранимость, но неустранимость без ухудшения теории. Проблема в том, что "ухудшение" слишком расплывчатое понятие. Если, например, изложение теории без квантификации по числам будет в десять/сто/тысячу раз длиннее, то является ли это ухудшением? Х. Филд попытался проделать это в книге "Science Without Numbers" с ньютоновской теорией гравитации, но результат мало кого впечатлил.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1628416 писал(а):

Так что в языке появятся бинарные предикатные символы $\in$ и $>$, унарный функциональный символ $||$ и константа $1$.

Нету в сигнатуре элементарной теории действительных чисел знака модуля. Хотя, учитывая, что Вы однажды хотели топологию на комплексных числах добавить в их аксиоматику, я уже ничему такому не удивляюсь.

Нельзя так вольно обращаться с теориями. Если Вы произносите слово "теория" - значит уже должны быть зафиксированы сигнатура и аксиоматика этой теории. Нельзя вот так просто ситуативно расширять сигнатуру чем попало - потому что получится уже другая теория. Например, в сигнатуре $(=, <, 0, 1)$ Вы не сможете выразить предикат $x = \frac{1}{2}$, а в сигнатуре $(=, +, 0, 1)$ невыразим предикат $x = \sqrt{2}$ [носитель интерпретации везде - действительные числа]. Но Вас такие мелочи не волнуют, Вы и дробную черту в сигнатуру добавите, и значок корня. Я уже предлагал - берем всю известную математику и записываем её в аксиомы. Отличный же план.

PavelFirsov в сообщении #1628417 писал(а):

Здесь важна не просто неустранимость, но неустранимость без ухудшения теории. Проблема в том, что "ухудшение" слишком расплывчатое понятие. Если, например, изложение теории без квантификации по числам будет в десять/сто/тысячу раз длиннее, то является ли это ухудшением?

И почему решили, что обязательно будет удлиннение? Представим, что история пошла чуть-чуть по другому сценарию и вместо действительных чисел ($\mathbb R$) люди стали оперировать гипердействительными ($^*\mathbb R$). Никакой катастрофы не произошло бы - точно так же открыли бы всю известную нам сейчас физику (а очень возможно, что открытий было бы больше). Нестандартный анализ - тоже красивая и элегантная теория. И никакой квантификации по действительным числам. Получается, что с точки зрения аргумента Куайна-Патнема действительные числа не существуют?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1628420 писал(а):

Нету в сигнатуре элементарной теории действительных чисел знака модуля

EminentVictorians в сообщении #1628420 писал(а):

Нельзя так вольно обращаться с теориями. Если Вы произносите слово "теория" - значит уже должны быть зафиксированы сигнатура и аксиоматика этой теории.

Глупости, нормальные люди "фиксируют" те сигнатуры, которые им нужны. Только Вы почему-то заморачиваетесь.

EminentVictorians в сообщении #1628420 писал(а):

Нельзя вот так просто ситуативно расширять сигнатуру чем попало - потому что получится уже другая теория.

Большинство таких расширений теорий являются консервативными. Иногда да, расширение языка получается существенным. Например, добавление умножения в язык арифметики Пресбургера делает из неполного по Тьюрингу языка полный. Но это особые случаи.

[PavelFirsov]

EminentVictorians в сообщении #1628420 писал(а):

Получается, что с точки зрения аргумента Куайна-Патнема действительные числа не существуют?

Тут нужно помнить, что это онтологический аргумент, а цель онтологии - выяснить, что существует на самом общем уровне. Например, для опровержения идеализма берклевского типа, нужно доказать, что существуют материальные объекты, неважно какие именно. Аналогично, платонистам нужно доказать существование абстрактных объектов вообще, а не каких-то конкретно. Аргумент Куайна-Патнема именно это и должен сделать. Номиналисту, соответственно, необходимо переформулировать научные теории без любых отсылок к абстрактным объектам и без ухудшения самих теорий, что не так просто.
Так что сторонник аргумента Вам ответит: "Да, есть некоторая неопределенность при применении аргумента, но поставленной цели он достигает".

[EminentVictorians]

PavelFirsov, подождите, давайте уточним.

1)Вы сказали, что аргумент Куайна-Патнема обязывает меня признать существование чисел, т.к. по ним нельзя устранить квантификацию.

2)Я ответил, что квантификацию по числам устранить можно, если заменить обычные числа на гипердействительные. Теория, полученная при переформулировке, хорошая.

3)Теперь Вы говорите, что аргумент Куайна-Патнема уже не доказывает мне существование чисел (хотя в пункте 1 он мне именно это и доказывал). Теперь оказывается, что аргумент Куайна-Патнема доказывает существование не чисел, а абстрактных объектов вообще. Т.е. доказывает существование хотя бы одного абстрактного объекта - так что ли?

[PavelFirsov]

EminentVictorians в сообщении #1628430 писал(а):

Теперь оказывается, что аргумент Куайна-Патнема доказывает существование не чисел, а абстрактных объектов вообще. Т.е. доказывает существование хотя бы одного абстрактного объекта - так что ли?

В философской литературе, особенно при более популярном изложении, аргумент часто формулируется с упоминанием чисел, поскольку они лучше знакомы потенциальным читателям и явно встречаются в формулировках почти всех научных теорий. Но более точно аргумент должен доказать существование абстрактных объектов, а если говорить еще точнее, то математических объектов (mathematical objects) или математических сущностей (mathematical entities), поскольку кроме них к абстрактным объектам, относятся, например универсалии, пропозиции, простые поссибилии (mere possibilia) и т. д.

[EminentVictorians]

PavelFirsov в сообщении #1628432 писал(а):

Но более точно аргумент должен доказать существование абстрактных объектов, а если говорить еще точнее, то математических объектов (mathematical objects) или математических сущностей (mathematical entities)

Должен доказать существование всех математических объектов или хотя бы одного математического объекта?

[PavelFirsov]

EminentVictorians в сообщении #1628433 писал(а):

Должен доказать существование всех математических объектов или хотя бы одного математического объекта?

Сами формулировки упоминают просто "математические сущности" без уточнений. Например, формулировка аргумента Марком Коливаном, приводимая в SEP, такова:

(P1) We ought to be ontologically committed to all and only those entities that are indispensable to our best theories of the world.
(P2) Mathematical entities are indispensable to our best theories of the world.
Therefore, (C) we ought to be ontologically committed to mathematical entities.

Но я думаю, что его нужно толковать как доказательство того, что онтологическая категория математических объектов не является пустой, то есть, что существует хотя бы один мат. объект.

[EminentVictorians]

PavelFirsov, спасибо за разъяснения.

[PavelFirsov]

EminentVictorians, всегда рад помочь.