Почему решение неверное? Логарифмы

[uspehBkvadrate]

Есть вот такое неравенство $\log_{x^2}(x^2 + 1) > 0$.
Почему его нельзя решить так:

Ограничения - $x\ne \pm 1$, $x\ne 0$

Решаем уравнение $\log_{x^2}(x^2 + 1) = 0$

$x^2+1=1$, тогда $x=0$

В ограничениях и в уравнении у нас присутствуют $x= \pm 1$, $x= 0$.

Если на числовой прямой отметить все точки незакрашенными, то получаем, что $x<-1$ или $x>1$ (это если подставлять числа из каждой из 4 областей, то получим знак неравенства нужный).

Я заметил, что этот метод работает во всех неравенствах, которые мне встречались, даже когда знаки не чередовались. Но мне учительница говорит, что это неправильно, но почему - не объясняет, говорит что это ерунда, а не решение.

А мне все же любопытно знать - почему неправильно и всегда ли такой способ работает?

-- 01.02.2024, 20:19 --

Сложно этот латекс дается. Но я вроде смог.

[mihaild]

В принципе правильно, но используется важное свойство: что $\log_{x^2} (x^2 + 1)$ - непрерывная функция на своей области определения. Т.е. (в частности) такая, что если она где-то меньше нуля, а где-то больше, то где-то между обязательно либо ноль, либо не определена.
Не все функции обладают таким свойством: например функция, равная $-1$ для отрицательных аргументов, и $1$ для положительных и нуля.
Судя по "учительница", Вы еще в школе - если так, то, скорее всего, понятия "непрерывная функция" в нужном виде (в частности, позволяющем доказать непрерывность Вашей функции) у Вас не было.

[amon]

uspehBkvadrate в сообщении #1628019 писал(а):

Есть вот такое неравенство $\log_{x^2}(x^2 + 1) > 0$.

Чтобы избежать ненужных дискуссий, лучше воспользоваться тем, что

$$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$$

[uspehBkvadrate]

mihaild в сообщении #1628023 писал(а):

В принципе правильно, но используется важное свойство: что $\log_{x^2} (x^2 + 1)$ - непрерывная функция на своей области определения. Т.е. (в частности) такая, что если она где-то меньше нуля, а где-то больше, то где-то между обязательно либо ноль, либо не определена.
Не все функции обладают таким свойством: например функция, равная $-1$ для отрицательных аргументов, и $1$ для положительных и нуля.
Судя по "учительница", Вы еще в школе - если так, то, скорее всего, понятия "непрерывная функция" в нужном виде (в частности, позволяющем доказать непрерывность Вашей функции) у Вас не было.

Спасибо. То есть любое логарифмическое неравенство можно решать подобным образом?

[dgwuqtj]

uspehBkvadrate в сообщении #1628043 писал(а):

То есть любое логарифмическое неравенство можно решать подобным образом?

Да, даже не только логарифмическое, а по сути со всеми функциями, которые встречаются в школе: многочлены, рациональные функции, тригонометрические функции, экспонента, показательная функция, логарифм и модуль, ну и их композиции. Но только если вам разрешено сослаться на непрерывность.

[uspehBkvadrate]

dgwuqtj в сообщении #1628046 писал(а):

Да, даже не только логарифмическое, а по сути со всеми функциями, которые встречаются в школе: многочлены, рациональные функции, тригонометрические функции, экспонента, показательная функция, логарифм и модуль, ну и их композиции. Но только если вам разрешено сослаться на непрерывность.

Спасибо. А на ЕГЭ можно ли сослаться на непрерывность? Примут ли такое решение?

[mihaild]

uspehBkvadrate в сообщении #1628047 писал(а):

А на ЕГЭ можно ли сослаться на непрерывность?

ИМХО лучше не надо. Если, конечно, Вам баллы там нужны больше сознания собственной правоты.

[Combat Zone]

uspehBkvadrate в сообщении #1628047 писал(а):

Спасибо. А на ЕГЭ можно ли сослаться на непрерывность? Примут ли такое решение?

На ЕГЭ есть задания, где даже необходимо ссылаться на непрерывность - без этого часть баллов за решение будет снята. Но такие задания могут быть в последней части, предназначенной для экспертной проверки вручную.
Ваше неравенство по уровню сложности вряд ли туда попадет. И даже если попадет, то маловероятно, чтобы в инструкции по проверке был предусмотрен такой вариант решения. А значит, качество проверки будет целиком зависеть от уровня экспертов и от уровня изложения вами решения. Если вы не сумеете объяснить внятно, что у вас происходит, баллы срежут полностью, и биться вам придется уже с апелляционной комиссией, - что тоже вряд ли увенчается успехом, владей вы материалом на нынешнем уровне.

Поэтому если есть возможность не ходить таким путем - не надо им ходить.

[EUgeneUS]

uspehBkvadrate в сообщении #1628019 писал(а):

Но мне учительница говорит, что это неправильно, но почему - не объясняет, говорит что это ерунда, а не решение.

Вот это грустно
Как было показано выше - это вполне годный метод при некоторых условиях (которые также были описаны выше).
При этом школьник сам его придумал, чем заслуживает, конечно, похвалу. А не объявление его усилий "ерундой".

[мат-ламер]

uspehBkvadrate в сообщении #1628019 писал(а):

Почему его нельзя решить так:

Ограничения - $x\ne \pm 1$, $x\ne 0$

Решаем уравнение $\log_{x^2}(x^2 + 1) = 0$

$x^2+1=1$, тогда $x=0$

В ограничениях и в уравнении у нас присутствуют $x= \pm 1$, $x= 0$.

Если на числовой прямой отметить все точки незакрашенными, то получаем, что $x<-1$ или $x>1$ (это если подставлять числа из каждой из 4 областей, то получим знак неравенства нужный).

Важно не только получить правильный ответ, но и логично объяснить. как он получен. Лично я в вашем объяснении ничего не понял.

uspehBkvadrate в сообщении #1628019 писал(а):

Но мне учительница говорит, что это неправильно, но почему - не объясняет, говорит что это ерунда, а не решение.

Полагаю, что ваша учительница тоже ничего не поняла.

mihaild в сообщении #1628023 писал(а):

В принципе правильно, но используется важное свойство: что $\log_{x^2} (x^2 + 1)$ - непрерывная функция на своей области определения.

То, что эта функция непрерывная в своей области определения - правильно. Но каким боком это является аргументом в решении задачи, непонятно, учитывая, что у этой функции точки $|x|=1$ - точки разрыва второго рода.

В этой задаче вполне уместно использовать непрерывность, но не этой функции, а функции $g(x)=\log_a(x)$ для $x>0$ . Учитывая монотонность этой функции, понятно, что функция $f(x)=\log_{x^2} (x^2 + 1)$ отрицательна при $|x|<1$ , $x \ne 0$ и положительна при $|x|>1$ .

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1628074 писал(а):

Важно не только получить правильный ответ, но и логично объяснить. как он получен. Лично я в вашем объяснении ничего не понял.

Объяснения ТС, возможно, косноязычны и местами некорректны, но вполне понятны и прозрачны.
Отказаться понять их - это или троллинг, или показатель подготовки непонимающего.

[tolstopuz]

Вообще этод метод под названием "обобщенный метод интервалов" встречается в пособиях при подготовке к ЕГЭ, например:

https://egemaximum.ru/obobshhennnyj-metod-intervalov/

Или вот даже дипломная работа выпускника педвуза:

https://elib.pnzgu.ru/files/eb/doc/ieEjMIDnYCKK.pdf

Интересно, засчитывают ли на самом деле такие решения без обоснования непрерывности.

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1628076 писал(а):

Отказаться понять их - это или троллинг, или показатель подготовки непонимающего.

Тем, кто всё понял, для начала предлагаю доказать, что функция $f(x)=\log_{x^2} (x^2 + 1)$ непрерывная (в своей области определения), учитывая

мат-ламер в сообщении #1628074 писал(а):

что у этой функции точки $|x|=1$ - точки разрыва второго рода.

-- Пт фев 02, 2024 11:25:07 --

мат-ламер в сообщении #1628074 писал(а):

Но каким боком это является аргументом в решении задачи, непонятно, учитывая, что у этой функции точки $|x|=1$ - точки разрыва второго рода.

Тут я не догнал, что ТС в стартовом посту пытался обосновать, что на каждой компоненте связности своей области определения эта функция знакопостоянна. Но эта мысль была настолько туманно выражена, что сразу до меня не дошла.

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1628084 писал(а):

Тем, кто всё понял, для начала предлагаю доказать, что функция $f(x)=\log_{x^2} (x^2 + 1)$ непрерывная (в своей области определения)

Суперпозиция непрерывных функций - непрерывна.

мат-ламер в сообщении #1628084 писал(а):

учитывая
мат-ламер в сообщении #1628074

писал(а):
что у этой функции точки $|x|=1$ - точки разрыва второго рода.

Учитывая, что эти точки не входят в область определения, рояли они не играют.

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1628086 писал(а):

Суперпозиция непрерывных функций - непрерывна.

Не знаю насчёт суперпозиции, но нашу функцию можно представить как частное двух логарифмических функций с фиксированным основанием логарифма. Доказать то можно, но смысл?

uspehBkvadrate в сообщении #1628019 писал(а):

Если на числовой прямой отметить все точки незакрашенными, то получаем, что $x<-1$ или $x>1$ (это если подставлять числа из каждой из 4 областей, то получим знак неравенства нужный).

Если подставить произвольное число (своё для каждой из 4-х областей) и получаем нужный знак неравенства (и это понятно!), то непонятно, зачем вся эта возня с непрерывностью и

uspehBkvadrate в сообщении #1628019 писал(а):

Решаем уравнение $\log_{x^2}(x^2 + 1) = 0$

решением уравнения. Достаточно пояснить, почему для произвольного числа для каждого из 4-х интервалов получаем нужный знак неравенства. Это просто и наверное в этом и состоит ход решения, подразумеваемый учительницей.

мат-ламер в сообщении #1628074 писал(а):

Важно не только получить правильный ответ, но и логично объяснить. как он получен. Лично я в вашем объяснении ничего не понял.

Лично у меня претензии не к ответу, а к стилю изложения. Допустим, ТС будет участвовать в каких-то перечневых олимпиадах или сдавать ЕГЭ. Ведь могут и не понять.

EUgeneUS в сообщении #1628076 писал(а):

Отказаться понять их - это или троллинг, или показатель подготовки непонимающего.

Извините, если нечаянно задел ваши чувства.