Почему решение неверное? Логарифмы

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1628206 писал(а):

Достаточно пояснить, почему для произвольного числа для каждого из 4-х интервалов получаем нужный знак неравенства

Вот для этого и нужны непрерывность и решение уравнения. Потому что если взять разрывную функцию, или вместо интервалов, ограниченных корнями и точками неопределенности какие-то другие интервалы, то окажется, что функция на интервале не обязана сохранять знак.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1628212 писал(а):

Достаточно пояснить, почему для произвольного числа ...

Ключевое слово в моём сообщении (боюсь оно осталось непонятым) это "произвольного". Если какое-то утверждение верно для произвольного числа, то оно остаётся быть верным для этого (и не только для этого!) произвольного числа независимого от того, какие у нас функции - непрерывные, разрывные ...

Моя учительница литературы говорила: "Кто ясно мыслит, тот ясно излагает". Видимо я неясно излагаю. Буду стараться в этом смысле расти.

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1628218 писал(а):

Если какое-то утверждение верно для произвольного числа

И про какое именно утверждение для произвольного числа Вы говорите?

[мат-ламер]

mihaild в сообщении #1628226 писал(а):

И про какое именно утверждение для произвольного числа Вы говорите?

Допустим, мы взяли произвольное $|x|>1$ и доказали, что для него $f(x)>0$ . Затем мы взяли произвольное $|x|<1$ , $x \ne 0$ и доказали, что для него $f(x)<0$ . (Причём для $|x|=1$ и $x=0$ наша функция неопределена). А задача стоит в решении неравенства $f(x)>0$ . Так ответ в этой задаче совершенно ясен: $|x|>1$ . Причём, независимо от того, непрерывна или нет наша функция $f(x)$ .

[mihaild]

Да, так можно. ТС в итоге это и доказывает.
А доказывает он это, по сути, следующим методом.
Существует $x_0 \in (-\infty, -1)$ такое, что $f(x_0) > 0$. И $f$ определена на $(-\infty, -1)$, непрерывна там, и не принимает нулевого значения. Из двух предыдущих утверждений следует, что $\forall x \in (-\infty, -1): f(x) > 0$. Аналогично для остальных интервалов.
Разумеется, можно всё то же самое доказать и другими способами. Но ТС доказывает так, и для этого метода принципиально, что мы рассматриваем интервалы, на которых функция непрерывна и не принимает нулевого значения.