Почему его нельзя решить так:
Ограничения -
![$x\ne \pm 1$ $x\ne \pm 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/6/3d65e5ca2d9090981e5d312178c0318e82.png)
,
![$x\ne 0$ $x\ne 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/9/5291133a11a5d4771646c35206b9bf5082.png)
Решаем уравнение
![$\log_{x^2}(x^2 + 1) = 0$ $\log_{x^2}(x^2 + 1) = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/8/9d80b672921efa8d88973fb162425d1482.png)
![$x^2+1=1$ $x^2+1=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/a/6fa1152cf1fb2632b02441dc2013ad2282.png)
, тогда
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
В ограничениях и в уравнении у нас присутствуют
![$x= \pm 1$ $x= \pm 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/1/f01293ccf24fa2756b68239e5c5f926c82.png)
,
![$x= 0$ $x= 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/3/5f3245ae7c481bd0342d5ebe2a9c6e8f82.png)
.
Если на числовой прямой отметить все точки незакрашенными, то получаем, что
![$x<-1$ $x<-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/a/f0ae7ce720d3a392be174d6e688a02bd82.png)
или
![$x>1$ $x>1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/c/4dc5e20efc61b4c5b91f5cccf54d554682.png)
(это если подставлять числа из каждой из 4 областей, то получим знак неравенства нужный).
Важно не только получить правильный ответ, но и логично объяснить. как он получен. Лично я в вашем объяснении ничего не понял.
Но мне учительница говорит, что это неправильно, но почему - не объясняет, говорит что это ерунда, а не решение.
Полагаю, что ваша учительница тоже ничего не поняла.
В принципе правильно, но используется важное свойство: что
![$\log_{x^2} (x^2 + 1)$ $\log_{x^2} (x^2 + 1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/9/3990a821e044b8f3d1b0b888e1a02df082.png)
- непрерывная функция на своей области определения.
То, что эта функция непрерывная в своей области определения - правильно. Но каким боком это является аргументом в решении задачи, непонятно, учитывая, что у этой функции точки
![$|x|=1$ $|x|=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/0/1f0ab0eb5d8d1e6b6a4b3f60c25d2ffd82.png)
- точки разрыва второго рода.
В этой задаче вполне уместно использовать непрерывность, но не этой функции, а функции
![$g(x)=\log_a(x)$ $g(x)=\log_a(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f976f42039cb1635d329151bf13e4cb82.png)
для
![$x>0$ $x>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/9/eb9b46f46cfcebc82f6f2be2576597cb82.png)
. Учитывая монотонность этой функции, понятно, что функция
![$f(x)=\log_{x^2} (x^2 + 1)$ $f(x)=\log_{x^2} (x^2 + 1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/9/5e901d74873f8903767e6ced78a2db2b82.png)
отрицательна при
![$|x|<1$ $|x|<1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/b/48b681bfd452f15f9ae345f0d28a2e8982.png)
,
![$x \ne 0$ $x \ne 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/f/26fe7c81f5ffea6ec16ac3456343b66182.png)
и положительна при
![$|x|>1$ $|x|>1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/e/80e2e28f963b09ec10039376f2eb627a82.png)
.