Задачи с пробного ЕГЭ

[Walking Disaster]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачами:
1. Десятичная запись натурального числа n содержит 61 цифру. Среди этих цифр есть тройки, четверки и пятерки. Других цифр нет. Число троек на 11 больше числа пятерок. Найти остаток от деления n на девять.
2. Найти остаток от деления $1992^{34}$ на 17.
3. Найти все целочисленные решения уравнения $2x^2y^2 +y^2 - 6x^2 - 12=0$
Заранее благодарна...

[Brukvalub]

В № 3 уравнение представляется виде:

\[ (2x^2 + 1)(y^2 - 3) = 9 \]

. Далее - перебор.
№ 2 - стандартная задача на остатки. Сначала заметим, что

\[ 1992^{34} = (117 \cdot 17 + 3)^{34} = k \cdot 17 + 3^{34} \]

, далее

\[ 3^{34} = 81^8 \cdot 9 = (4 \cdot 17 + 13)^8 \cdot 9 = n \cdot 17 + 169^4 \cdot 9 \]

, а тут уж и золотой ключик почти виден на дне....

[ewert]

1) Надо найти 3n+4m+5k (mod 9). При этом известно:

n+m+k=61;
n-k=11.

3). $(2x^2+1)(y^2-3)=9$.

[Батороев]

Walking Disaster писал(а):

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачами:
1. Десятичная запись натурального числа n содержит 61 цифру. Среди этих цифр есть тройки, четверки и пятерки. Других цифр нет. Число троек на 11 больше числа пятерок. Найти остаток от деления n на девять.

Т.к. количество четверок - четно, то от их количества ничто не зависит, т.е. их можно...

[ewert]

Brukvalub в сообщении #162623 писал(а):

№ 2 - стандартная задача на остатки. Сначала заметим, ...что

а вот, кстати, вопрос к знатокам. Понятно, что последовательность $a^n \mod b$ периодична. И что её период не может быть больше, чем $b$. И даже чем $(b-1)$, если $b$ имеет хоть один простой делитель, не входящий в $a$ (ибо тогда нулевой остаток отпадает). И в этом примере (3 и 17) как раз максимально возможный период -- 16 -- и достигается.

А что на этот счёт (насчёт возможных периодов) говорит общая теория? Я-то в ней совсем не разбираюсь.

[Trotil]

ewert, на этот счет есть Теорема Эйлера

[ewert]

спасибо, будет досуг -- почитаю

[Батороев]

Интересно, а зачли бы решение задачи ЕГЭ с применением Малой теоремы Ферма?
Или ее нынче в школе изучают?


Добавлено спустя 27 минут 24 секунды:

Такое ощущение, что задача 2 и расчитана на ее знание.

[ewert]

Батороев в сообщении #162677 писал(а):

Такое ощущение, что задача 2 и расчитана на ее знание.

да нет, не обязательно, я вот никаких теорем Ферма не знаю, ни в каком размере, а пафос там в этой задаче просто в элементарном утверждении насчёт

$(ab) \mod c = \Big[(a \mod c)\cdot(b \mod c)\Big] \mod c$

А вот нафига простым расейским выпускникам теория чисел и смежные -- тоже в упор не врубаюсь. Хотя я лично, конечно, и не объективен.

[Brukvalub]

Я видел вариант пробного ЕГЭ этого года - там и близко таких задач не лежало....

[Walking Disaster]

Огромное спасибо! У меня получилось решить 2 и 3 задания... а вот первую задачу я так и не поняла Нельзя ли поподробнее?

Батороев писал(а):

Или ее нынче в школе изучают?

Нет, не изучают =)

Brukvalub писал(а):

Я видел вариант пробного ЕГЭ этого года - там и близко таких задач не лежало....

Я немного неправильно выразилась. Это задания не из ЕГЭ, а для подготовки к нему. То есть, чисто теоретически в 2009 году такие задачи могут встретиться.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #162624 писал(а):

1) Надо найти 3n+4m+5k (mod 9). При этом известно:

n+m+k=61;
n-k=11.

Здесь ewert использовал тот факт, что натуральное число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 9.
Имеем: 2n+m=61+11=72 , m+2k=61-11=50. Тогда 3n+4m+5k=(n+m+k)+(2n+m)+2( m+2k)=61+72+100=233. 2+3+3=8 - ответ.

[ewert]

Я немножко не то имел в виду: если

n+m+k=61,
n-k=11.,

то 3n+4m+5k = 4(n+m+k)-(n-k)=244-11=233.

[Brukvalub]

Вы, ewert, не учитываете, что современные дети слабы в счете, поэтому рекомендуется применять такие схемы расчета, которые максимально долго не выводят рассчитываемые значения за пределы первой сотни. Вот я и старался следовать данной инструкции.

[Walking Disaster]

ой, спасибо большое! Не знаю, что бы я без вас делала!
Теперь буду знать, куда обращаться, если потребуется помощь.