Вот для этого (а также для доказательства в обратную сторону) имеет смысл доказать такое утверждение: если зафиксировать

и

, то найдётся

такое, что если

или

, то

содержит множество

. Такое множество является многоугольником при малых

площади не меньше

.
Вот моя попытка для случая, когда супремум расстояния меньше дельта:
Предположим, что это не так, то есть для всех

, если

, то все равно существует какая-то точка

множества

такая, что она не входит в

. Найдем ближайшую к этой точке сторону

и проведем к ней перпендикуляр, обозначим точку пересечения с

буквой

, а точку пересечения с частью

, не лежащей в

, буквой

. В таком случае получим, что

будет равняться как раз длине отрезка

(тот факт, что это минимальное расстояние следует из соображений выпуклости

). И как будто отсюда совсем не тяжело показать, что длина отрезка

точно больше или равна

или чему-то такому, так что достаточно взять

и будет противоречие. Если честно, однако, мне не кажется что это строго