А такой интеграл берется?

[Sonic86]

Берется ли интеграл от такой функции?

$ \ln(\sin x)dx$

Добавлено спустя 4 минуты 20 секунд:

По частям я уже попробовал.
Я скорее ожидаю ответа "не берется", а вот почему - не знаю.

zoo писал что-нибудь? Его сообщение исчезло!!!

[zoo]

писал но стер

[Nikita.bsu]

Mathenatica 6.0 выдает следующий результат $-x \text{Log}\left[1-e^{2 i x}\right]+x \text{Log}[\text{Sin}[x]]+\frac{1}{2} i \left(x^2+\text{PolyLog}\left[2,e^{2 i x}\right]\right)$, где $\text{PolyLog}[k,z] =\sum _{k=1}^{\infty } z^k/k^n$

[ИСН]

Если Mathematica выдала выражение, в котором фигурирует один PolyLog (т.е. нет ничего, с чем он мог бы как-нибудь сократиться), то пиши пропало - в элементарных никак.
Определённый интеграл по какому-нибудь приличному отрезку, впрочем, - - -

[Brukvalub]

Доказательство не существования элементарной первообразной: Применим к интегралу пакет "Mathenatica 6.0". Результат применения доказывает, что данная функция не имеет элементарной первообразной.

[ИСН]

Ну а что, не доказывает, что ли?

[Brukvalub]

ИСН в сообщении #162634 писал(а):

Ну а что, не доказывает, что ли?

"Кому и кобыла невеста..." (с) Ильф и Петров "12 стульев" ...

[ewert]

Попробую доказать более аккуратно.

Берётся ли интеграл? -- Не берётся.
Почему не берётся? -- Потому.

[Brukvalub]

"Раз пошла такая пьянка - режь последний огурец..."
Есть такая книга: Хованский А.Г. Топологическая тория Галуа МЦНМО 2008. Так вот в ней изложены некоторые необходимые и некоторые достаточные условия элементарности первообразной. Вот их и нужно проверить.

[zoo]

Brukvalub писал(а):

Доказательство не существования элементарной первообразной: Применим к интегралу пакет "Mathenatica 6.0". Результат применения доказывает, что данная функция не имеет элементарной первообразной.

Доказательство совершенно корректное: если к элементарной функции добавить неэлементарную, то получится неэлементарная функция. Если Вам не нравится, что первообразная получена с помощью программы символьных вычислений, то с техникой проверки и нтегрирования с помощью дифференцирования, я надеюсь, Вы знакомы.

[Brukvalub]

zoo в сообщении #162642 писал(а):

Доказательство совершенно корректное: если к элементарной функции добавить неэлементарную, то получится неэлементарная функция.

А почему полилогарифм не может быть выражен элементарной функцией, Вы, zoo, тоже дифференцированием доказывать будете, поскольку именно им овладели в совершенстве?

[zoo]

Brukvalub писал(а):

zoo в сообщении #162642 писал(а):

Доказательство совершенно корректное: если к элементарной функции добавить неэлементарную, то получится неэлементарная функция.

А почему полилогарифм не может быть выражен элементарной функцией, Вы, zoo, тоже дифференцированием доказывать будете, поскольку именно им овладели в совершенстве?

я не буду это доказывать, это стандартный факт, нужна ссылка -- обратитесь к специалистам.
Беседа началась с вопроса берется или нет интеграл. После того как было получено выражение

Nikita.bsu в сообщении #162627 писал(а):

$-x \text{Log}\left[1-e^{2 i x}\right]+x \text{Log}[\text{Sin}[x]]+\frac{1}{2} i \left(x^2+\text{PolyLog}\left[2,e^{2 i x}\right]\right)$, где $\text{PolyLog}[k,z] =\sum _{k=1}^{\infty } z^k/k^n$

адекватным людям ясно,что интеграл не берется.

[ewert]

zoo в сообщении #162651 писал(а):

я не буду это доказывать, это стандартный факт,

Тогда мой вариант доказательства гораздо лучше, ибо компактнее.

[ИСН]

Я доказывать не буду, поскольку (1) я верю железяке, (2) автор темы, скорее всего, тоже; и (3) соответствующую теорию, увы, ниасилил - там много букв и стихи.

[Brukvalub]

zoo в сообщении #162651 писал(а):

адекватным людям ясно,что интеграл не берется.

Почему не берется? Адекватным людям ясно, что он берется в спецфункциях, при условии, что в пакете "Mathenatica 6.0" нет ошибок.
Но, думаю, если таким образом обосновывать неэлементарность первообразной в диссертационной работе по теоретической математике, то на защите диссертант провалится