2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 А такой интеграл берется?
Сообщение27.11.2008, 16:59 
Берется ли интеграл от такой функции?

$ \ln(\sin x)dx$

Добавлено спустя 4 минуты 20 секунд:

По частям я уже попробовал.
Я скорее ожидаю ответа "не берется", а вот почему - не знаю.

zoo писал что-нибудь? Его сообщение исчезло!!!

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 17:06 
Аватара пользователя
писал но стер

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 17:21 
Аватара пользователя
Mathenatica 6.0 выдает следующий результат $-x \text{Log}\left[1-e^{2 i x}\right]+x \text{Log}[\text{Sin}[x]]+\frac{1}{2} i \left(x^2+\text{PolyLog}\left[2,e^{2 i x}\right]\right)$, где $\text{PolyLog}[k,z] =\sum _{k=1}^{\infty } z^k/k^n$

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 17:25 
Аватара пользователя
Если Mathematica выдала выражение, в котором фигурирует один PolyLog (т.е. нет ничего, с чем он мог бы как-нибудь сократиться), то пиши пропало - в элементарных никак.
Определённый интеграл по какому-нибудь приличному отрезку, впрочем, - - -

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 17:28 
Аватара пользователя
Доказательство не существования элементарной первообразной: Применим к интегралу пакет "Mathenatica 6.0". Результат применения доказывает, что данная функция не имеет элементарной первообразной. :D

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 17:30 
Аватара пользователя
Ну а что, не доказывает, что ли? :lol: :lol: :lol:

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 17:32 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #162634 писал(а):
Ну а что, не доказывает, что ли?

"Кому и кобыла невеста..." (с) Ильф и Петров "12 стульев" ...

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 17:35 
Попробую доказать более аккуратно.

Берётся ли интеграл? -- Не берётся.
Почему не берётся? -- Потому.

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 17:49 
Аватара пользователя
"Раз пошла такая пьянка - режь последний огурец..."
Есть такая книга: Хованский А.Г. Топологическая тория Галуа МЦНМО 2008. Так вот в ней изложены некоторые необходимые и некоторые достаточные условия элементарности первообразной. Вот их и нужно проверить.

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 18:00 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
Доказательство не существования элементарной первообразной: Применим к интегралу пакет "Mathenatica 6.0". Результат применения доказывает, что данная функция не имеет элементарной первообразной. :D

Доказательство совершенно корректное: если к элементарной функции добавить неэлементарную, то получится неэлементарная функция. Если Вам не нравится, что первообразная получена с помощью программы символьных вычислений, то с техникой проверки и нтегрирования с помощью дифференцирования, я надеюсь, Вы знакомы.

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 18:08 
Аватара пользователя
zoo в сообщении #162642 писал(а):
Доказательство совершенно корректное: если к элементарной функции добавить неэлементарную, то получится неэлементарная функция.
А почему полилогарифм не может быть выражен элементарной функцией, Вы, zoo, тоже дифференцированием доказывать будете, поскольку именно им овладели в совершенстве? :D

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 18:29 
Аватара пользователя
Brukvalub писал(а):
zoo в сообщении #162642 писал(а):
Доказательство совершенно корректное: если к элементарной функции добавить неэлементарную, то получится неэлементарная функция.
А почему полилогарифм не может быть выражен элементарной функцией, Вы, zoo, тоже дифференцированием доказывать будете, поскольку именно им овладели в совершенстве? :D

я не буду это доказывать, это стандартный факт, нужна ссылка -- обратитесь к специалистам.
Беседа началась с вопроса берется или нет интеграл. После того как было получено выражение
Nikita.bsu в сообщении #162627 писал(а):
$-x \text{Log}\left[1-e^{2 i x}\right]+x \text{Log}[\text{Sin}[x]]+\frac{1}{2} i \left(x^2+\text{PolyLog}\left[2,e^{2 i x}\right]\right)$, где $\text{PolyLog}[k,z] =\sum _{k=1}^{\infty } z^k/k^n$

адекватным людям ясно,что интеграл не берется.

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 18:34 
zoo в сообщении #162651 писал(а):
я не буду это доказывать, это стандартный факт,

Тогда мой вариант доказательства гораздо лучше, ибо компактнее.

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 18:36 
Аватара пользователя
Я доказывать не буду, поскольку (1) я верю железяке, (2) автор темы, скорее всего, тоже; и (3) соответствующую теорию, увы, ниасилил - там много букв и стихи.

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 18:40 
Аватара пользователя
zoo в сообщении #162651 писал(а):
адекватным людям ясно,что интеграл не берется.

Почему не берется? Адекватным людям ясно, что он берется в спецфункциях, при условии, что в пакете "Mathenatica 6.0" нет ошибок.
Но, думаю, если таким образом обосновывать неэлементарность первообразной в диссертационной работе по теоретической математике, то на защите диссертант провалится :D

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group