Посчитать сумму ряда

[ihq.pl]

Alexander__ в сообщении #1625362 писал(а):

Может Mathematica тут глуповата, что результат выдаёт жуткий (который даже толком не форматируется тут в LaTeX :) ):]

$$\int_{-\infty }^{\infty } \frac{\cos (\pi x)}{x^2+1} e^{-i \lambda x} \, dx = \int_0^{\infty } \frac{2\cos (\pi x) \cos{\lambda x} }{x^2+1} \, dx = \int_0^{\infty } \frac{\cos (\lambda-\pi)x + \cos (\lambda +\pi)x}{x^2+1} \, dx$$$

[Combat Zone]

ihq.pl
Ну и откуда ТС знать значение
1) интеграла Лапласа (который считается через вычеты),
2) он пока даже не в курсе (не в качестве упрека), чему равен косинус по определению.

[ihq.pl]

Combat Zone в сообщении #1625368 писал(а):

Ну и откуда ТС знать значение
1) интеграла Лапласа

Но Mathematica то должна знать это)

[Combat Zone]

Alexander__ в сообщении #1625362 писал(а):

Может Mathematica тут глуповата, что результат выдаёт жуткий (который даже толком не форматируется тут в LaTeX :) ):

Кто же знает, что вы ей скормили.
Вообще там получается хороший ответ, даже и вот так.
Но так там не будет: параметры преобразования Фурье другие. Почитайте результат внимательно.

Alexander__ в сообщении #1625362 писал(а):

Знаний про $i$ как константу тут вроде достаточно, и остальных базовых знаний из комплексных чисел и операций над ними.

Возможно. Как-то же вы посчитали в конце концов тот интеграл, который, по идее, считается только с помощью вычетов, а вычеты вы не знаете )
И если вам хватило этого указания, то могли до этого вспомнить определение косинуса, разложить его в сумму экспонент, и было бы почти то же, только слегка дольше.

Alexander__ в сообщении #1625362 писал(а):

Собственно, вот это указание привело меня к правильному ответу.

Хорошо.

-- 09.01.2024, 14:21 --

ihq.pl в сообщении #1625371 писал(а):

Но Mathematica то должна знать это)

Она и сумму ряда знает.

[GAA]

Обозначим исходную сумму ряда через $S_0$, т.е. $S_0 = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n}{n^2+1}$.
В курсах основ математического анализа формулу суммирования Пуассона в предельной форме записывают в виде

$$S = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos 2\pi n x \, dx.$$

Как выше указано, в данном случае $f(x) = \frac {\cos \pi x} {x^2+1}$ и

$$S = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int\limits_0^{\infty} \frac {\cos \pi (2n-1)x + \cos \pi (2n+1)x }{x^2+1} dx.$$

Косинус-интеграл Лапласа (как и синус-интеграл Лапласа) $\int_0^{\infty} \frac {\cos ax} {x^2+1} dx = \frac {\pi} 2 e^{-|a|}$ в курсах основ анализа выводят в теме несобственные интегралы (зависящие от параметра) при помощи искусственного приёма. (См. Демидович Сборник задач и упражнений по математическому анализу, задача 3825, в издании 2005 г. или Фихтенгольц Курс диф. и инт. исчисления Т2, гл XIV, §3, п. 522 в изд. 1964 г.)

Используя интеграл Лапласа, а затем формулу для геометрической прогрессии, получаем $S = \frac {\pi}{\sh \pi}$.
Исходная сумма $S_0 = \frac 1 2 (S +1) = \frac 1 2 ( \frac {\pi}{\sh \pi} +1)$.

Результат совпал с полученным (выше в данной ветке) при помощи ряда Фурье, но требует вывод косинус-интеграла Лапласа при помощи искусственного приема (или умение вычислять такой интеграл при помощи вычетов, но тогда и саму сумму можно вычислять при помощи вычетов) и решение немного более громоздкое.

Как-то не очень показательный пример на использование формулы суммирования Пуассона, а более показательные примеры можно привести? И зачем в спецкурсе предлагается это упражнение?

[talash]

Может кому-то понадобится сайт для проверки суммы ряда, можно в LATEX вставлять формулы. Ответ также совпал с двумя ответами выше.

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1625432 писал(а):

Как-то не очень показательный пример на использование формулы суммирования Пуассона, а более показательные примеры можно привести?

Попробую посчитать сумму обратных квадратов.

[GAA]

Если Вы о сумме $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac 1 {n^2} = \frac {\pi^2} 6$, то она легко получается из разложение $x^2$ на $[-\pi, \pi]$ в ряд по косинусам и подстановкой $x = \pi$, или искусственным приёмом (Фихтенгольц), или при помощи вычетов (см., например, Мышкис А.Д. Математика для втузов. Специальные курсы, 1971, Гл II Теория аналитических функций, §3 Особые точки и нули, п.4 Применение к несобственным интегралам), но не применением формулы суммирования Пуассона.

[мат-ламер]

GAA в сообщении #1625470 писал(а):

но не применением формулы суммирования Пуассона.

Честно, не пробовал. Вот тут пишут, что можно. Но я пока не понял, как. Там же в нуле у функции $f$ особенность

Хотя эту особенность можно наверное "подправить" без ущерба для конечного результата.

[ihq.pl]

мат-ламер в сообщении #1625480 писал(а):

Там же в нуле у функции $f$ особенность

Первое равенство в посте у GAA (с экспонентой вместо косинуса) справедливо для функций абсолютно интегрируемых вместе со своей производной (Гельфанд, Обобщенные функции, т.1). Но можно попробовать равенство

$$\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{i\frac{2\pi}{T}nx} = T\sum_{k\in\mathbb{Z}}\delta(x-kT),$$

где слева и справа функционалы на пространстве "хороших" функций. Его можно дифференцировать по $x$ столько, сколько нужно, и получать новые равенства.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1625480 писал(а):

Хотя эту особенность можно наверное "подправить" без ущерба для конечного результата.

Можно для начала найти сумму $\sum 1/(n^2+\alpha^2)$ и затем устремить $\alpha$ к нулю.

[vicvolf]

мат-ламер в сообщении #1625962 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1625480 писал(а):

Хотя эту особенность можно наверное "подправить" без ущерба для конечного результата.

Можно для начала найти сумму $\sum 1/(n^2+\alpha^2)$ и затем устремить $\alpha$ к нулю.

Думаю, что так нельзя именно из-за этой особенности. Смотрел интеграл $\int_0^\infty {\frac{cos(ax)dx}{x^2+{\alpha}^2}}=\frac{\pi}{|\alpha|}e^{|a{\alpha}|}$. Он расходится при ${\alpha} \to 0$.