Посчитать сумму ряда

[Alexander__]

Ряд: $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+1}$

Подсказывают формулой Пуассона для ряда, которая от преобразования Фурье.

Думаю в сторону того, чтобы разложить исходный ряд на два: для чётных и нечётных $n$. Но уж что-то жуткие функции после преобразования Фурье получаются. Подскажите как такое решать?

[Combat Zone]

Если ТФКП была, то теорема Миттаг-Леффлера. Подобрать подходящую функцию. Это несложно.

[ihq.pl]

Alexander__ в сообщении #1625279 писал(а):

Подсказывают формулой Пуассона для ряда, которая от преобразования Фурье.

Скорее всего, имеют в виду формулу суммирования Пуассона.

[Alexander__]

ihq.pl в сообщении #1625295 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1625279 писал(а):

Подсказывают формулой Пуассона для ряда, которая от преобразования Фурье.

Скорее всего, имеют в виду формулу суммирования Пуассона.

Но какую функцию выбрать для преобразования Фурье? $f(x)=\frac{(-1)^x}{x^2+1}$?

[Combat Zone]

И как вы будете числитель в любой нецелой точке считать?
$(-1)^n=\cos \pi n$. Например.
Мне Миттаг-Леффлером было бы быстрее.

[Alexander__]

Combat Zone в сообщении #1625309 писал(а):

И как вы будете числитель в любой нецелой точке считать?
$(-1)^n=\cos \pi n$. Например.

Функция $f(x)=\frac{\cos \pi x}{x^2+1}$ ? Если да, преобразование Фурье от неё не обещает ничего хорошего

Цитата:

Мне Миттаг-Леффлером было бы быстрее.

Посмотрел определение Миттаг-Леффлера. ТФКП не было. Не понимаю сходу как туда этот ряд впихнуть.

[GAA]

А на какую тему это упражнение?
Если тема ряды Фурье в курсе «начал анализа» («анализа I», «Высшей математики» или «Дифференциального и интегрального исчисления») уже пройдена, а ТФКП (или элементов комплексного анализа) ещё не было, то нам известно разложение экспоненты в ряд на $(-\pi, \pi)$:

$$e^x = \frac 2 {\pi} \sh\pi \left(\frac 1 2 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n} {n^2+1} [\cos nx - n \sin nx] \right).$$

Беря в качестве $x$ значение 0, получаем

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac {(-1)^n} {n^2+1} = \frac 1 2 \left (\frac {\pi} {\sh \pi} +1\right).$$

[Combat Zone]

Alexander__ в сообщении #1625310 писал(а):

Если да, преобразование Фурье от неё не обещает ничего хорошего

Подберите другую из тех же соображений. Подумайте немного, она рядом лежит. :) Если действительно свет клином сошелся на этом способе.

GAA в сообщении #1625311 писал(а):

А на какую тему это упражнение?
Если ряды Фурье в курсе «начал анализа» (

Судя по предыдущим темам, это скорее.

[Alexander__]

Combat Zone в сообщении #1625312 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1625310 писал(а):

Если да, преобразование Фурье от неё не обещает ничего хорошего

Подберите другую из тех же соображений. Подумайте немного, она рядом лежит. :) Если действительно свет клином сошелся на этом способе.

Вот только такую периодическую знакопеременную нашёл, которая имеет "хорошее" преобразование Фурье: $\frac{\sin (\pi x)+\cos (\pi x)}{x^2+1}$. Вы её имели ввиду?

[Combat Zone]

Нет. Экспоненту.

[ihq.pl]

Alexander__ в сообщении #1625310 писал(а):

Функция $f(x)=\frac{\cos \pi x}{x^2+1}$ ? Если да, преобразование Фурье от неё не обещает ничего хорошего

Как по мне, так хорошая функция, четная. К тому же

$$\int_0^\infty \frac{\cos\omega x}{\alpha^2 + x^2}dx$$

известный интеграл Лапласа.

[Alexander__]

ihq.pl в сообщении #1625325 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1625310 писал(а):

Функция $f(x)=\frac{\cos \pi x}{x^2+1}$ ? Если да, преобразование Фурье от неё не обещает ничего хорошего

Как по мне, так хорошая функция, четная. К тому же

$$\int_0^\infty \frac{\cos\omega x}{\alpha^2 + x^2}dx$$

известный интеграл Лапласа.

Там преобразование Фурье, от чего становится хуже:

$$\int_0^\infty \frac{\cos\pi x}{1 + x^2} \exp^{-i \lambda x} dx$$

[Combat Zone]

Alexander__
да ничего там страшного не будет. Но можно проще. Но и так можно. Однако у вас неприятности: вы не изучали ТФКП. Наверное, чему косинус равен, не знаете. По определению.

-- 09.01.2024, 10:09 --

Кстати, да. Без ТФКП вы и преобразование Фурье и при отсутствующем косинусе не посчитаете. Или посчитаете? Или вы знаете тфкп?

[ihq.pl]

Alexander__ в сообщении #1625330 писал(а):

Там преобразование Фурье, от чего становится хуже:

$$\int_0^\infty \frac{\cos\pi x}{1 + x^2} \exp^{-i \lambda x} dx$$

Должно быть от $-\infty$ до $+\infty$

[Alexander__]

ihq.pl в сообщении #1625333 писал(а):

Alexander__ в сообщении #1625330 писал(а):

Там преобразование Фурье, от чего становится хуже:

$$\int_0^\infty \frac{\cos\pi x}{1 + x^2} \exp^{-i \lambda x} dx$$

Должно быть от $-\infty$ до $+\infty$

Может Mathematica тут глуповата, что результат выдаёт жуткий (который даже толком не форматируется тут в LaTeX :) ):

$$\int_{-\infty }^{\infty } \frac{\cos (\pi x)}{x^2+1} e^{-i \lambda x} \, dx$$

\frac{1}{8} \left(-\frac{i \left(G_{3,1}^{1,3}\left(\frac{2 i}{\pi -\lambda },\frac{1}{2}| \begin{array}{c} \frac{1}{2},1,1 \\ 1 \\ \end{array} \right)+G_{3,1}^{1,3}\left(\frac{2 i}{\lambda +\pi },\frac{1}{2}| \begin{array}{c} \frac{1}{2},1,1 \\ 1 \\ \end{array} \right)+i \left(\text{sgn}(\pi -\lambda ) G_{3,1}^{1,3}\left(\frac{2 i}{\pi -\lambda },\frac{1}{2}| \begin{array}{c} \frac{1}{2},\frac{1}{2},1 \\ \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)-\text{sgn}(\lambda +\pi ) G_{3,1}^{1,3}\left(\frac{2 i}{\lambda +\pi },\frac{1}{2}| \begin{array}{c} \frac{1}{2},\frac{1}{2},1 \\ \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)\right)\right)}{\sqrt{\pi }}-2 i \text{Ci}(i (\pi -\lambda )) (\cosh (\pi -\lambda )+\sinh (\pi -\lambda ) \text{sgn}(\pi -\lambda ))+2 i \text{Ci}(i (\lambda +\pi )) (\sinh (\lambda +\pi ) \text{sgn}(\lambda +\pi )-\cosh (\lambda +\pi ))+2 e^{-\lambda -\pi } \left(-i e^{2 (\lambda +\pi )} \text{Ei}(-\lambda -\pi )-i e^{2 \lambda } \text{Ei}(\pi -\lambda )+e^{2 \pi } i \text{Ei}(\lambda -\pi )+i \text{Ei}(\lambda +\pi )+\pi e^{2 \lambda }-\pi e^{2 (\lambda +\pi )}-e^{2 \pi } \pi +\pi \right)-(\pi -2 i \text{Shi}(\pi -\lambda )) (\sinh (\pi -\lambda )+\cosh (\pi -\lambda ) \text{sgn}(\pi -\lambda ))+(\pi -2 i \text{Shi}(\lambda +\pi )) (\cosh (\lambda +\pi ) \text{sgn}(\lambda +\pi )-\sinh (\lambda +\pi ))\right)\text{ if }-\pi \leq \lambda \leq \pi

-- 09.01.2024, 14:31 --

Combat Zone в сообщении #1625331 писал(а):

Alexander__
да ничего там страшного не будет. Но можно проще. Но и так можно. Однако у вас неприятности: вы не изучали ТФКП. Наверное, чему косинус равен, не знаете. По определению.

-- 09.01.2024, 10:09 --

Кстати, да. Без ТФКП вы и преобразование Фурье и при отсутствующем косинусе не посчитаете. Или посчитаете? Или вы знаете тфкп?

Это задача на спецкурсе. ТФКП не знаю. Знаний про $i$ как константу тут вроде достаточно, и остальных базовых знаний из комплексных чисел и операций над ними.

-- 09.01.2024, 14:32 --

Combat Zone в сообщении #1625316 писал(а):

Нет. Экспоненту.

Собственно, вот это указание привело меня к правильному ответу.