А если убрать все эти выверты а-ля

и потребовать вещественной аналитичности?
Если область произвольная, то не получится: можно взять

и

в

.
Если речь идёт про ростки в точке, то по идее можно примерно таким образом: между

и

должна быть функциональная зависимость

. Тогда

задаёт аналитическую кривую в окрестности нуля в

(без изолированных точек). Она неприводима, иначе

можно заменить на один из его сомножителей. В таком случае существует параметризация кривой

при помощи функций

и параметр

можно, наоборот, выразить через

и

. Но это всего лишь идея, у меня плохо с вещественно аналитическими многообразиями.
Если же нужна произвольная стягиваемая область, то надо думать, но наверняка тоже можно.