Где бы про всё это можно было бы подробно прочитать ?
В книжке по алгебраическим группам (например, Borel, Linear algebraic groups). Тут используются такие факты:
1) описание конкретного максимального тора у ортогональной группы (поэтому я для удобства и перешёл к расщепимой квадратичной форме вместо исходной);
2) любой полупростой элемент группы содержится в некотором максимальном торе;
3) все максимальные торы сопряжены;
4) в группе есть элементы с различными собственными значениями (все они, конечно, полупросты) и они образуют открытое подмножество.
А описание группы Мёбиуса как проективной ортогональной группы я просто взял с [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation#Lorentz%20transformation]википедии[/url] (с добавлением преобразований, меняющие ориентацию), но можно и явно посчитать, что это ваша исходная группа.
Насчёт вещественности неподвижных точек в случае

. У сферы эйлерова характеристика ненулевая, так что неподвижные точки над

всегда есть и можно считать, что одна из них - это бесконечность. В таком случае преобразование Мёбиуса задаётся формулой

, а остальные неподвижные точки получаются как решения уравнения

. Если

в общем положении, то она не имеет собственных значений

и найдётся единственная вторая вещественная неподвижная точка (можно считать, что это 0, тогда

). Но если

сохраняет ориентацию, то есть ещё 2 комплексные неподвижные точки. А именно, после комплексификации сфера становится

, группа действует проективными преобразованиями на сомножителях и их перестановкой. Если

и

неподвижные, то

и

тоже будут неподвижными для преобразований из компоненты единицы (не переставляющих сомножители), эти точки лежат на касательных плоскостях к первым двум неподвижным точкам. Вещественными они быть не могут хотя бы потому, что вещественная сфера не содержит прямых.
А для кривых постоянных кривизн лучше правда посмотрите что-то по группам Ли и дифференциальной геометрии. Я сам алгебраист, мне проще так посчитать.