Многомерные дробно-линейных преобразования

[dgwuqtj]

pan555 в сообщении #1624518 писал(а):

Может быть, среди этих преобразований Мёбиуса есть подгруппа, относительно которой линии постоянных кривизн инвариантны ?

Конечно, поворотные гомотетии (вообще композиции движений и гомотетий), хотя это не очень интересная подгруппа. Преобразования Мёбиуса сохраняют обобщённые сферы всех размерностей (сферы и подпространства), но не сохраняют обычную кривизну и вряд ли хорошо себя ведут по отношению к кручению.

[pan555]

dgwuqtj
Печалька .
Может быть, среди этих преобразований Мёбиуса есть подгруппа, относительно которой линии постоянных кривизн инвариантны ?
Мне казалось, раз преобразования Мёбиуса переводят окружности и гиперокружности в подобные окружности и гиперокружности, то и кривые постоянных кривизн в этот класс преобразований входят...
По крайней мере винтовую линию можно представить как некое "произведение" окружностей, одна из которых имеет бесконечный радиус...,поэтому представлялось, что винтовая линия инвариантна при преобразованиях Мёбиуса...
Что касается 3 вопроса, то для винтовых линий у меня было предположение в 3-х мерном пространстве, что 4-е точки, не лежащие на одной плоскости ,определяют единственную винтовую линию,но доказать пока не смог.
__
С другой стороны, а можно ли найти методику, которая может просто вычислить преобразования, относительно которых кривые с постоянными кривизнами инвариантны ?
И если да, то как найти такую методику ?

[dgwuqtj]

pan555 в сообщении #1624520 писал(а):

Что касается 3 вопроса, то для винтовых линий у меня было предположение в 3-х мерном пространстве, что 4-е точки, не лежащие на одной плоскости ,определяют единственную винтовую линию,но доказать пока не смог.

Можно попробовать найти плоскость, при ортогональной проекции на которую точки оказываются на одной окружности. Но вам всё равно придётся потребовать, чтобы точки были в достаточно общем положении, и таких винтовых линий может всё равно оказаться несколько (хотя по идее конечное количество).

[pan555]

С другой стороны, а можно ли найти методику, которая может просто вычислить преобразования, относительно которых кривые с постоянными кривизнами инвариантны ?
И если да, то как найти такую методику ?

[dgwuqtj]

Если речь идёт про частично определённые преобразования и если ограничиться только аналитическими, то можно просто написать ряд Тейлора и посчитать. Мне что-то подсказывает, что это всё равно будут только движения с гомотетиями в размерности начиная с 3.

[pan555]

Вы правы.
Я думал, что если в 3-хмерном случае преобразования Мёбиуса совпадают с дробно -лигецными преобразованиями, то так будет и в многомерном случаеоказывается , ошибался.
Теперь в своих исследованиях обращу внимание на многомерные преобразования именно Мёбиуса.

[pan555]

Исходное :
Начиная с n=3 любое конформное отображение является преобразованием Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса имеют один из следующих видов:
f(x)=b+A(x−a)
f(x)=b+A(x−a)/lx−a|^2,
где 
a,b∈R,A— ортогональная матрица.
Работа Альфорса "Многомерные преобразования Мёбиуса"
И явное описание преобразований Мёбиуса в книге Фока :
Это всё, что у меня есть на эту тему.

[dgwuqtj]

Да, только $A$ - это не ортогональная матрица в общем случае, а произведение ортогональной на ненулевой скаляр.

[pan555]

dgwuqtj в сообщении #1624668 писал(а):

Да, только $A$ - это не ортогональная матрица в общем случае, а произведение ортогональной на ненулевой скаляр.

Принимаю это уточнение.
Что хочу проверить.
1.Инвариантны ли кривые постоянных кривизн в 4-х мерном псевдоевклидовым пространстве относительно преобразований Мёбиуса.(или некоторой их подгруппе).
И , если ,да ,то :

2.Существуют ли в преобразованиях Мебиуса неподвижные точки и сколько их ?
Что можно посоветовать для решения этой задачи?

[dgwuqtj]

pan555 в сообщении #1624671 писал(а):

Что можно посоветовать для решения этой задачи?

Насчёт первого вопроса - можно по идее явно найти кривые постоянных кривизн и вручную проверить, какие преобразования сохраняют их всех. А что касается неподвижных точек, то опять надо уточнять, в каком смысле... Вообще так работать с преобразованиями Мёбиуса неудобно, лучше представить их как группу $\mathrm{PGO}(n + 1, 1)$ линейных преобразований, сохраняющих квадратичную форму $x_1^2 + \ldots + x_n^2 + x_{n + 1}^2 - x_{n + 2}^2$ с точностью до константы, профакторизованную по гомотетиям. Проективное многообразие, задаваемое этой формой, изоморфно $\mathbb S^n$, и группа как раз действует на ней.
Если вас интересуют неподвижные точки над комплексными числами и у преобразований общего вида, то посмотрим на расщепимую группу $\mathrm{PGO}(n + 2, \mathbb C)$. У неё 2 компоненты связности, в компоненте единицы элемент общего вида полупростой и даже регулярный (то есть его централизатор имеет наименьшую возможную размерность). С точностью до сопряжения такой элемент лежит в стандартном максимальном торе, то есть относительно квадратичной формы $q(x) = x_1 x_{n + 2} + x_2 x_{n + 1} + \ldots$ это диагональная матрица $g = (a_1, a_2, \ldots, 1/a_2, 1/a_1)$ (при нечётном $n$ посередине единица), где все диагональные элементы различны. Неподвижные точки будут задаваться однородными уравнениями $q(x) = 0$ и $gx \parallel x$ в проективном пространстве. Другими словами, у $x$ ровно одна ненулевая компонента (и не центральная при нечётном $n$), итого $n + 2$ неподвижных точек при чётном $n$ и $n + 1$ при нечётном. При $n = 2$ их получается 4, и что-то я сомневаюсь, что все они могут оказаться вещественными одновременно.

Что касается второй компоненты связности, то при нечётном $n$ там просто -1 посередине, а при чётном по центру соседние $t$ и $1/t$ стоят на антидиагонали квадратика $2 \times 2$ вместо диагонали. Это $n + 1$ неподвижная точка при нечётном $n$ и $n$ при чётном $n$.

[pan555]

dgwuqtj

Это очень и очень полезные уточнения !!!
Где бы про всё это можно было бы подробно прочитать ?

[scwec]

pan555
Для общего понимания вопроса полезно вернуться к совету о полях $u,v$ и их коммутаторе.
Важно отметить (и это, видимо, знал советующий), что кривая с постоянными кривизнами в псевдоэвклидовом пространстве любой размерности и с любой сигнатурой обязательно является орбитой однопараметрической подгруппы группы Ли движения этого пространства. Касательное поле к этой орбите есть поле Киллинга $v$, а для определения его компонент есть уравнения Киллинга.
В любом случае Вам придётся классифицировать все орбиты, решив эти уравнения, а затем находить все допустимые поля $u$ для $v$, что хотя и техническая, но не всегда простая задача, а затем находить решения (орбиты) этих полей, что и даст необходимые Вам преобразования пространства.
Да, и определитесь с сигнатурой. Для размерности 4 их две. Результаты для каждой свои.

[dgwuqtj]

pan555 в сообщении #1624682 писал(а):

Где бы про всё это можно было бы подробно прочитать ?

В книжке по алгебраическим группам (например, Borel, Linear algebraic groups). Тут используются такие факты:
1) описание конкретного максимального тора у ортогональной группы (поэтому я для удобства и перешёл к расщепимой квадратичной форме вместо исходной);
2) любой полупростой элемент группы содержится в некотором максимальном торе;
3) все максимальные торы сопряжены;
4) в группе есть элементы с различными собственными значениями (все они, конечно, полупросты) и они образуют открытое подмножество.
А описание группы Мёбиуса как проективной ортогональной группы я просто взял с [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation#Lorentz%20transformation]википедии[/url] (с добавлением преобразований, меняющие ориентацию), но можно и явно посчитать, что это ваша исходная группа.

Насчёт вещественности неподвижных точек в случае $n = 2$. У сферы эйлерова характеристика ненулевая, так что неподвижные точки над $\mathbb R$ всегда есть и можно считать, что одна из них - это бесконечность. В таком случае преобразование Мёбиуса задаётся формулой $x \mapsto Ax + b$, а остальные неподвижные точки получаются как решения уравнения $(1 - A) x = b$. Если $A$ в общем положении, то она не имеет собственных значений $1$ и найдётся единственная вторая вещественная неподвижная точка (можно считать, что это 0, тогда $b = 0$). Но если $A$ сохраняет ориентацию, то есть ещё 2 комплексные неподвижные точки. А именно, после комплексификации сфера становится $\mathbb P^1_{\mathbb C} \times \mathbb P^1_{\mathbb C}$, группа действует проективными преобразованиями на сомножителях и их перестановкой. Если $(0, 0)$ и $(\infty, \infty)$ неподвижные, то $(0, \infty)$ и $(\infty, 0)$ тоже будут неподвижными для преобразований из компоненты единицы (не переставляющих сомножители), эти точки лежат на касательных плоскостях к первым двум неподвижным точкам. Вещественными они быть не могут хотя бы потому, что вещественная сфера не содержит прямых.

А для кривых постоянных кривизн лучше правда посмотрите что-то по группам Ли и дифференциальной геометрии. Я сам алгебраист, мне проще так посчитать.