Многомерные дробно-линейных преобразования

[pan555]

Добрый день всем !
Задача стоит следующая:
Итак, рассматриваем кривые с постоянными кривизнами в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве.
(Дифференциальные уравнения таких кривых в сопутствующих координатах есть).
Есть предположение, что они инвариантны относительно многомерных дробно-линейных преобразований с одинаковыми знаменателями.
Под инвариантностью понимается то , что кривые с постоянными кривизнами после таких преобразований останутся кривыми с постоянными криаизнами, пусть и с другими численными значениями.
Можно ли такое утверждение доказать ?
Или среди многомерных дробно-линейных преобразований с одинаковыми знаменателями есть подгруппа,которая такую инвариантность обеспечивает ?
Можно ли тут что либо доказать ?

[пианист]

pan555 в сообщении #1624142 писал(а):

кривые с постоянными кривизнами в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве

Вы имеете в виду, что рассматриваете решения системы оду типа такой

$$ \begin{cases} \frac{df}{dt} = Ag,\\ \frac{dg}{dt} = -Af + Bh,\\ \frac{dh}{dt} = -Bg + Ck,\\ \frac{dk}{dt} = -Ch, \end{cases} $$

где $A, B, C$ константы?

[pan555]

Да, так выглядят диф.уравнения кривых с постоянными кривизнами в сопутствующей системе координат( так у Рашевского указано).
Разница для евклидова и псевдоевклидова пространства только в некоторых знаках.

$$ \begin{cases} \frac{dx}{ds} = Ay,\\ \frac{dy}{ds} = -Ax+ Bz,\\ \frac{dz}{ds} = -By + Ct,\\ \frac{dt}{ds} = Cz, \end{cases} $$

где $A, B, C$ константы

[пианист]

Ну так просто решить и проверить решение на инвариантность.
В чем подвох?

[pan555]

Тут не то что подвох.
Мне советуют воспользоваться следующим :
Однопараметрическая группа Ли сгенерированная векторным полем u(x), переносит интегральные кривые векторного поля v(x) в интегральные кривые векторного поля v(x) тогда и только тогда когда [v,u]=0 тогда и когда существует \lambda(x)\ne0^\quad [u,v]=\lambda(x)v
Где об этом можно почитать ?
И можно ли это применить к моей задаче ?

[пианист]

Так Вам надо, чтобы Ваши кривые переходили в себя при дробно-линейных отображениях, или друг в друга?
И еще, интересует инвариантность по отношению к отдельным преобразованиям, или к группе преобразований?

[pan555]

Я бы сформулировал это так :
Желательно понять, переходят ли кривые выбранного класса (кривые с постоянными кривизнами) в кривые того же класса при заданных дробно-линейных преобразованиях или какой либо подгруппе этих преобразований.
(Дробно-линейные преобразования с одинаковыми знаменателями вроде являются группой и вроде называются многомерными преобразованиями Мёбиуса)

[пианист]

Стоит глянуть в сторону группового анализа дифференциальных уравнений.
Если система ду инвариантна относительно преобразования, решение при его действии перейдет в другое решение (или в себя, но это не обязательно).
Если задано уравнение и преобразование (или группа преобразований), проверка инвариантности более-менее техническая задача, ключевые слова продолжение преобразования на производные. Прочесть можно в каком-то учебнике по групповому анализу. Овсянников, Ибрагимов, Олвер; кажется, в каком-то из учебников Арнольда я тоже видел. Самое доступное изложение в книжечке Ибрагимова "Азбука группового анализа".
Однако есть засада: Ваши уравнения заданы в естественных координатах кривой, а преобразования в "обычных". Как с этим быть, навскидку не очевидно.

[pan555]

Последний момент меня более всего и смущает. Поэтому думаю о переводе уравнений из "естественных" координат в обычный вид...
Как с этим быть - пока не знаю...

[пианист]

Так, навскидку (скорее всего, глупость).
У Ибрагимова и его команды была тема т.н. нелокальных симметрий. В рамках этой темы, например, "перекидывались" симметрии из эйлеровых координат в лагранжевы.
Может, туда глянуть? Ссылок, к сожалению, под рукой нету, только помню, что там участвовал Газизов.

[pan555]

Думаю сделать так.
Посмотреть выражения кривизин через производные "естественных" координатах сравнить, как те же кривизины выглядят в обычных координатах.
Тогда может быть станет ясно, как уравнения кривых с постоянными кривизнами надо писать в обычных координатах (а не в "естественных").
Имеет смысл такое ?
( впрочем , этот вопрос исследовал Аминов в своей книге "Дифференциальная геометрия и топология кривых" , разбираюсь..)

[dgwuqtj]

pan555 в сообщении #1624142 писал(а):

Итак, рассматриваем кривые с постоянными кривизнами в 4-х мерном псевдоевклидовом пространстве.
(Дифференциальные уравнения таких кривых в сопутствующих координатах есть).
Есть предположение, что они инвариантны относительно многомерных дробно-линейных преобразований с одинаковыми знаменателями.

Это очень сомнительно. На евклидовой плоскости такие кривые - это окружности и прямые, они при проективных преобразованиях не сохраняются (переходят в кривые второго порядка и прямые соответственно). А евклидова плоскость вкладывается в псевдоевклидово пространство. Тем более это не так в $\mathbb E^3$, где кривые постоянной кривизны и кручения - это спирали.

[пианист]

pan555 в сообщении #1624160 писал(а):

Имеет смысл такое ?

Звучит, честно сказать, не особо обнадеживающе, но надо пробовать, может, и получится.
Кстати, эти кривые, случайно, уже не были кем-нибудь посчитаны?
Трехмерный эвклидов случай, как заметил уважаемый dgwuqtj, действительно очень простой; может, и Ваш тоже окажется несложным.

[pan555]

Любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений.
Соответственно , окружности будут переводиться в окружности (считая прямую окружностью бесконечного радиуса), ибо так работает инверсия.
В многомерном случае ожидаю подобного для линий постоянных кривизн.

[dgwuqtj]

pan555 в сообщении #1624246 писал(а):

Любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений.

У вас какое-то странное понимание дробно-линейных преобразований. Можете привести определение для произвольной размерности?

Просто в случае плоскости инверсия относительно единичной окружности имеет вид $(x, y) \mapsto (\frac x{x^2 + y^2}, \frac y{x^2 + y^2})$, в знаменателе многочлены второй степени.