Формула Ньютона-Лейбница в ТФКП

[мат-ламер]

У меня возникли некоторые сомнения по поводу вопросов, обсуждаемых в теме https://dxdy.ru/topic156403.html . Сражу скажу, что с точки зрения математики у меня там как-бы всё понятно. Моя сомнения носят чисто методологический характер.

Я тут написал слово "как-бы" неспроста. Дело в том, что в той теме высказывалось и другое мнение. Поэтому вопрос номер один. Если в той теме если я сильно где-то напортачил, прошу мне на это указать. Я там попутал синюю область с красной. Но я извинился в последнем своём посту. И, как я полагаю, вопрос там не принципиальный, а вопрос соглашения. Если будет необходимость, к нему вернёмся позже.

Обсуждаться будут вопросы, изложенные в пункте 5.4 "Формула Ньютона-Лейбница" учебника Морозовой В.Д. "Теория функции комплексного переменного", изданного в серии "Математика в техническом университете".

Вопрос номер два. А какая вообще методологическая ценность формулы Ньютона-Лейбница (формула 5.22) для односвязной области в ТФКП? Морозова пишет "Она упрощает вычисление интегралов в односвязной области". Это реально так? Часто ли приходится сталкиваться с вычислением определённых интегралов в ТФКП именно таким способом? Тут речь идёт о формуле $\int\limits_{z_1}^{z_2}f(z)dz=F(z_2)-F(z_1)$ , где функция $F(z)$ является первообразной для функции $f(z)$ .

Вопрос номер три. Из изложенного ранее в этом учебнике, можно сделать вывод, что рассматриваются функции как однозначные, так и многозначные. Может ли функция $F(z)$ в этой формуле быть многозначной? Например, можно ли полагать $F(z)=\operatorname{Ln} z$ ? И вообще, если у нас дана функция $f(z)=1/z$ , однозначную или многозначную функцию $F(z)$ надо рассматривать в той формуле?

Вопрос четыре. Ранее в этом учебнике (упражнение 4.1 в конце четвёртой главы) предполагается доказать аналитичность функции $f(z)=\ln z$ . Из каких соображений читатель может догадаться, аналитичность в какой области тут имеется в виду?

Вопрос пять. В цитируемой теме была высказана мысль:

Combat Zone в сообщении #1623969 писал(а):

Так вот логарифм - аналитическая (многозначная, ну и что) функция на всей области определения

И тут задан очень правильный вопрос: "Ну и что?". Так может методологические трудности (с моей точки зрения) в рассматриваемом учебнике (и в других похожих) вообще связаны с рассмотрением многозначных функций? Не проще ли для понимания считать все функции однозначными, но заданными на соответствующих областях определения (римановых поверхностях)?