найти число решений уравнения.

[Inspektor]

Подскажите пожалуйста как найти число решений уравнения:

$$\sum_{k=1}^n{x_k}=\sum_{k=1}^n{y_k}\ ,\ 0\leq x_k,y_k\leq m$$

Я сразу пошёл по пути производящих функций и остановился на том, что решение можно получить как сумму квадратов коэффициентов многочлена

$$(\sum_{k=0}^m{x^k})^n$$

. Так же можно многочлен Лорана использовать, но по-моему он тут не упрощает ситуацию.
Ещё после долгой возни заметил вот какую закономерность:
если

$$\sum_{k=1}^n{x_k}=\sum_{k=1}^n{y_k}$$

то:

$$\sum_{k=1}^n{x_k}+\sum_{k=1}^n{(m-y_k)}=mn$$

[Yu_K]

Считаем S(p,n) число вариантов посадить р кроликов в n клеток - и суммируем S(p,n)^2 по всем p меньшим либо равным m. Может так?

[Хорхе]

Ну это вроде обобщенных случайных билетов. Почитайте в "Кванте":
http://ega-math.narod.ru/Quant/Tickets.htm

[Inspektor]

Хорхе писал(а):

Ну это вроде обобщенных случайных билетов. Почитайте в "Кванте":
http://ega-math.narod.ru/Quant/Tickets.htm

Огромное спасибо

[Inspektor]

Вот только не понятно, как они коэффициент при

$$x^{nm}$$

многочлена

$$\frac{(1-x^{m-1})^{2n}}{(1-x)^{2n}}$$

посчитали?

[Brukvalub]

Разложили числитель и единицу, деленную на знаменатель в степенные ряды и перемножили их по Коши (числитель является многочленом).

[Inspektor]

Brukvalub писал(а):

Разложили числитель и единицу, деленную на знаменатель в степенные ряды и перемножили их по Коши (числитель является многочленом).

А как разложили

$$\frac1{(1-x)^n}$$

?

[ИСН]

"Тоже мне, бином Ньютона"

[Brukvalub]

Inspektor в сообщении #162686 писал(а):

А как разложили

$$\frac1{(1-x)^n}$$

Как $(1 + x)^{ - n} $

[Inspektor]

т.е. получается вот такая штука:

$$\frac{\sum_{k=0}^{2n}{(-1)^kC_{2n}^kx^{k(m-1)}}}{\sum_{k=0}^{\infty}{C_{2n+k-1}^kx^k}}$$

? Тогда как же их поделить?
И вообще я совсем не понимаю, зачем их делить, ведь сначала многочлен

$$(\sum_{k=0}^m{x^k})^{2n}$$

зачем-то к этому виду привели, а теперь снова делить...

[Brukvalub]

Brukvalub в сообщении #162714 писал(а):

И вообще я совсем не понимаю, зачем их делить

Не делить, а умножать на $(1 + x)^{ - n} $

[Inspektor]

Brukvalub писал(а):

Brukvalub в сообщении #162714 писал(а):

И вообще я совсем не понимаю, зачем их делить

Не делить, а умножать на $(1 + x)^{ - n} $

действительно, это просто спать сильно хотелось, вот и начались проблемы с чтением...

$$(1-x)^{-n}$$

так и не понял как разложить, уже что только не делал, всё равно при подстановке конкретных значений вместо $x$ и $n$ не сходится . В универе мы только случай натуральных степеней рассматривали(эту задачу я сам себе придумал, когда на философии спал), а тут целая отрицательная.

[Brukvalub]

См. http://rk6.bmstu.ru/electronic_book/mathematic/rady.htm , параграф 8 п. 4.

[maxal]

Inspektor в сообщении #163047 писал(а):

$$(1-x)^{-n}$$

так и не понял как разложить

Ну так этот тот же бином:

$$(1-x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{-n}{k} (-x)^k = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} x^k= \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{n-1} x^k$$

Как определяются биномиальные коэффициенты - см. в википедии.