2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 найти число решений уравнения.
Сообщение26.11.2008, 16:40 
Подскажите пожалуйста как найти число решений уравнения:
$$\sum_{k=1}^n{x_k}=\sum_{k=1}^n{y_k}\ ,\ 0\leq x_k,y_k\leq m$$
Я сразу пошёл по пути производящих функций и остановился на том, что решение можно получить как сумму квадратов коэффициентов многочлена $$(\sum_{k=0}^m{x^k})^n$$. Так же можно многочлен Лорана использовать, но по-моему он тут не упрощает ситуацию.
Ещё после долгой возни заметил вот какую закономерность:
если $$\sum_{k=1}^n{x_k}=\sum_{k=1}^n{y_k}$$ то: $$\sum_{k=1}^n{x_k}+\sum_{k=1}^n{(m-y_k)}=mn$$

 
 
 
 
Сообщение26.11.2008, 20:42 
Считаем S(p,n) число вариантов посадить р кроликов в n клеток - и суммируем S(p,n)^2 по всем p меньшим либо равным m. Может так?

 
 
 
 
Сообщение26.11.2008, 20:45 
Аватара пользователя
Ну это вроде обобщенных случайных билетов. Почитайте в "Кванте":
http://ega-math.narod.ru/Quant/Tickets.htm

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 10:48 
Хорхе писал(а):
Ну это вроде обобщенных случайных билетов. Почитайте в "Кванте":
http://ega-math.narod.ru/Quant/Tickets.htm

Огромное спасибо :!:

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 19:18 
Вот только не понятно, как они коэффициент при $$x^{nm}$$ многочлена $$\frac{(1-x^{m-1})^{2n}}{(1-x)^{2n}}$$ посчитали?

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 19:53 
Аватара пользователя
Разложили числитель и единицу, деленную на знаменатель в степенные ряды и перемножили их по Коши (числитель является многочленом).

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 21:09 
Brukvalub писал(а):
Разложили числитель и единицу, деленную на знаменатель в степенные ряды и перемножили их по Коши (числитель является многочленом).

А как разложили $$\frac1{(1-x)^n}$$?

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 22:02 
Аватара пользователя
"Тоже мне, бином Ньютона" :D

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 22:06 
Аватара пользователя
Inspektor в сообщении #162686 писал(а):
А как разложили $$\frac1{(1-x)^n}$$
Как $(1 + x)^{ - n} $

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 22:23 
т.е. получается вот такая штука: $$\frac{\sum_{k=0}^{2n}{(-1)^kC_{2n}^kx^{k(m-1)}}}{\sum_{k=0}^{\infty}{C_{2n+k-1}^kx^k}}$$? Тогда как же их поделить?
И вообще я совсем не понимаю, зачем их делить, ведь сначала многочлен $$(\sum_{k=0}^m{x^k})^{2n}$$ зачем-то к этому виду привели, а теперь снова делить...

 
 
 
 
Сообщение27.11.2008, 22:37 
Аватара пользователя
Brukvalub в сообщении #162714 писал(а):
И вообще я совсем не понимаю, зачем их делить

Не делить, а умножать на $(1 + x)^{ - n} $

 
 
 
 
Сообщение28.11.2008, 22:14 
Brukvalub писал(а):
Brukvalub в сообщении #162714 писал(а):
И вообще я совсем не понимаю, зачем их делить

Не делить, а умножать на $(1 + x)^{ - n} $

действительно, это просто спать сильно хотелось, вот и начались проблемы с чтением... :oops:
$$(1-x)^{-n}$$ так и не понял как разложить, уже что только не делал, всё равно при подстановке конкретных значений вместо $x$ и $n$ не сходится :evil: . В универе мы только случай натуральных степеней рассматривали(эту задачу я сам себе придумал, когда на философии спал), а тут целая отрицательная.

 
 
 
 
Сообщение28.11.2008, 22:20 
Аватара пользователя
См. http://rk6.bmstu.ru/electronic_book/mathematic/rady.htm , параграф 8 п. 4.

 
 
 
 
Сообщение01.12.2008, 03:29 
Аватара пользователя
Inspektor в сообщении #163047 писал(а):
$$(1-x)^{-n}$$ так и не понял как разложить

Ну так этот тот же бином:
$$(1-x)^{-n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{-n}{k} (-x)^k =  \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} x^k= \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{n-1} x^k$$
Как определяются биномиальные коэффициенты - см. в википедии.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group