Резонанс при малых возмущениях?

[thething]

Рассмотрим начально-краевую краевую задачу

$$u_{tt}=u_{xx},\;0<x<\pi,\;t>0,$$

$$u\right\rvert|_{t=0}=0,\;u_t\right\rvert|_{t=0}=0,$$

$$u\right\rvert|_{x=0}=f(t),\;u\right\rvert|_{x=\pi}=0.$$

Функция $f$ -- гладкая. Хорошо известно, что, даже если $f$ ограничена, то решение $u(x,t)$ может неограниченно возрастать по времени (резонанс). Возможно ли наступление резонанса при условии, что $f(t)\to0$, $t\to+\infty$?

[svv]

Да, возможно. Пусть $u(x,t)=h(t-x+2\pi)-h(t+x)$, где $h$ — гладкая функция. Тогда удовлетворяется ДУ и условие $u(\pi,t)=0$.

Возьмём $h(t)=\ln t\,\sin t,\;t>0$, тогда
$f(t)=u(0,t)=\Bigl(\ln (t+2\pi)-\ln t\Bigr)\sin t$
$u(\frac{\pi}{2},t)=-\Bigl(\ln(t+\frac{3\pi}{2})+\ln(t+\frac{\pi}{2})\Bigr)\cos t$
При $t\to +\infty$ функция $f(t)\to 0$, а $u(\frac{\pi}{2},t)$ неограниченна.

Чтобы выполнялись и начальные условия, умножим $h(t)$ на гладкую функцию, равную нулю при $t\leqslant 0$ и единице при $t\geqslant 1$.

[thething]

svv
Круто! А главное -- компактно. Есть ещё одна задача на уравнение колебаний, в которой у меня решение через всякие костыли с тригонометрическими рядами. Возможно, есть такой же компактный способ. Пусть $u_{tt}=u_{xx}+f(x,t)$, $0<x<\pi$, $t>0$, $|f(x,t)|\le C$. Краевые условия первого рода нулевые, начальные условия общего вида. Можно ли подобрать функцию $f$ так, чтобы, начиная с какого-то момента, струна остановилась?

У меня получилось, что можно, но решение мне не нравится в первую очередь потому, что я функцию задаю через тригонометрический ряд. Возможно, есть решение более явное и простое...

[svv]

thething
Возьмём функцию $u$, дважды дифференцируемую и с ограниченными вторыми производными, которая удовлетворяет начальным и граничным условиям, а начиная с какого-то $t_0>0$ тождественно равна нулю. Подставим её в ДУ и получим нужную
$f(x,t)=u_{tt}-u_{xx}$
Это не слишком лихо?

[thething]

svv в сообщении #1623228 писал(а):

Это не слишком лихо?

Я не вижу, какую можно "подгадать" функцию со всеми этими свойствами. Я решаю так: записываю решение по методу разделения переменных и приравниваю "коэффициенты" при синусах к нулю. Прихожу к двум уравнениям $\psi_n+\displaystyle\int\limits_0^t \cos(ns)f_n(s)ds=0$ и $-n\varphi_n+\displaystyle\int\limits_0^t \sin(ns)f_n(s)ds=0$, выполняющимся для всех $n$ и для всех $t\ge t_0$. Здесь $f_n,\varphi_n,\psi_n$ -- коэффициенты Фурье правой части, начального отклонения и начальной скорости соответственно. Потом загадываю $f_n(s)=0$ при $t\ge t_0$, а на $[0,t_0]$ -- в виде квадратичной функции с неопределёнными коэффициентами так, чтобы удовлетворялась система плюс была непрерывность. В итоге по этим коэффициентам составляю ряд и показываю, что, при определённом выборе $t_0$, получается ограниченная функция. Но, если оба начальных условия нулевые, то этот метод не проходит (хотя, тут как раз легко с этим побороться, перейдя к новой неизвестной функции, поменяв правую часть). Короче, выходит очень много возни. Не покидает ощущение, что задумывалось всё не так, а раскусить идею составителей не могу

[svv]

thething в сообщении #1623534 писал(а):

какую можно "подгадать" функцию со всеми этими свойствами

Начальные условия:
$u(x,0)=\varphi(x),\quad u_{t}(x,0)=\psi(x)$
Считаю, что функции $\varphi, \psi$ гладкие и обращаются в нуль при $x=0$ и $x=\pi$.

Возьмём
$u(x,t)=\bigl(\varphi(x)+t\psi(x)\bigr)\,h(t),$
где $h$ — гладкая функция, такая, что $h(0)=1, h'(0)=0$ и $h(t)=0$ при $t\geqslant t_0$.
Начальные и краевые условия удовлетворяются. И выполнено «главное пожелание»: $u(x,t)=0$ при $t\geqslant t_0$.

Подставляем $u$ в дифференциальное уравнение, находим подходящую $f(x,t)=u_{tt}-u_{xx}$.
Я допускаю, что чего-то не понимаю — слишком просто получается. Но если это рассуждение правильное, то его большой плюс в том, что ни в каком виде не надо решать ДУЧП.

thething в сообщении #1623534 писал(а):

Но, если оба начальных условия нулевые, то этот метод не проходит (хотя, тут как раз легко с этим побороться, перейдя к новой неизвестной функции, поменяв правую часть).

А почему в этом случае нельзя взять $f(x,t)=0$ ? Очевидно, тогда $u(x,t)=0$ будет решением. Нам надо остановить струну, но если она уже неподвижна — не будем её трогать.

[thething]

svv в сообщении #1623600 писал(а):

Но если это рассуждение правильное, то его большой плюс в том, что ни в каком виде не надо решать ДУЧП.

Это прям очень существенный плюс, но так не получается, вообще говоря, добиться условия $|f(x,t)|\le C$ (ограничитель тут, как я понимаю, фиксирован, иначе достаточно было сказать, что $f$ ограничена). Ну или, скажем так, надо ещё подшаманить с функцией $h$, т.е. выбирать $t_0$ придётся так, чтобы это ограничение выполнялось. В моём способе получается это увязать.

svv в сообщении #1623600 писал(а):

А почему в этом случае нельзя взять $f(x,t)=0$ ? Очевидно, тогда $u(x,t)=0$ будет решением. Нам надо остановить струну, но если она уже неподвижна — не будем её трогать.

Тут (по моим домыслам), всё-таки, содержательность задачи теряется, если решение можно изначально положить тождественно нулевым.

В-общем, спасибо за идеи. Я эти задачи как-то решаю, но более "прямым" путём. С такой стороны, как Вы предлагаете, смотреть пока не получается.

[svv]

thething в сообщении #1623668 писал(а):

ограничитель тут, как я понимаю, фиксирован, иначе достаточно было сказать, что $f$ ограничена

Ах, вот оно что. Ну да, этого я и не понимал — думал, что Вы просто так записали условие ограниченности функции. Тогда да, сложности.

Я хочу только заметить, что, согласно моей физической интуиции, при заранее заданных очень малых $t_0$ и $C$ и сильных колебаниях струны можно и не "не вписаться" в условия, не успеть её остановить — решения не будет. Вероятно, это можно доказать из энергетических соображений.

[thething]

svv в сообщении #1623684 писал(а):

Я хочу только заметить, что, согласно моей физической интуиции, при заранее заданных очень малых $t_0$ и $C$ и сильных колебаниях струны можно и не "не вписаться" в условия, не успеть её остановить.

$t_0$ как раз заранее не задано (опять же, как я понимаю условие). Я думаю, Ваше решение хорошо проходит, если, конечно, считать, что решение краевой задачи понимается в классическом смысле. Тогда можно увязать все константы, ограничивающие начальные условия (и их производные), а также правую часть и за счёт выбора $t_0$ добиться остановки. По крайней мере, у меня в решении через ряды получается оценка момента $t_0$ снизу. Тут тоже должно получиться.

[svv]

Хорошо. Спасибо, над задачкой было интересно подумать.
Можно также подумать над "оптимальным утихомириванием" колеблющейся струны: $C$ задано, а остановить надо как можно быстрее.