Свойства группы S3*Z3?

[niskon]

Есть группа $G = S_3 \times Z_3$

1) Какие в ней есть нормальные подгруппы?
Насколько я понимаю, их всего 4: $A_3 \times Z_3$, $A_3$, $S_3$, $Z_3$ и тривиальные ${e}$, $G$. Есть ли другие и как это строго обосновать?

2) Сколько гомоморфизмов из $G$ в $Z_{20}$ и из $Z_{20}$ в $G$ и какие они?
Я понимаю, что $G \to Z_{20}$ всего 2 гомоморфизма, так как их столько же сколько гомоморфизмов из фактор-группы по коммутанту, а фактор-группа по коммутанту изоморфна $Z_2 \times Z_3$. Один гомоморфизм тривиальный, а как устроен второй?
Гомоморфизмов $Z_{20} \to G$ вроде бы 4, но тоже не знаю как правильно описать нетривиальные.

3) Какими формулами задаются одномерные представления над $\mathbb{C}$ ? Как описываются двумерные неприводимые над $\mathbb{C}$ ? И три примера каких-нибудь пятимерных представления над $\mathbb{C}$ ?
Я понимаю, что всего 6 одномерных представлений над $\mathbb{C}$, так как их количество равно порядку фактор группы по коммутанту. Они все неприводимы конечно же. И 3 двумерных неприводимых. Это я получил, используя несколько фактов про сумму размерностей представлений и классы сопряженности. Пятимерных очень много, они образуются прямыми суммами одномерных и двумерных, но нужно какие-нибудь 3 конкретные матричные формы их. А для одномерных знаю, что есть понятно тривиальное, и например знак, то есть формула одномерного представления $(\sigma, a) \to sgn(\sigma)$, где $\sigma \in S_3$ и $a \in Z_3$

[dgwuqtj]

1. Раз уж вам надо что-то узнать про представления (причём размерности больше 1), то есть смысл найти классы сопряжённости. В группе всего 18 элементов, это должно быть легко. Если знать классы сопряжённости, то легко найти все нормальные подгруппы: это те объединения классов сопряжённости, которые являются подгруппами. Можно начать с поиска нормальных подгрупп, порождённых одним классом.
2. Разложите $\mathbb Z_{20}$ в произведение. Гомоморфизмы в произведение групп - это то же самое, что пары из гомоморфизмы в сомножители. Для гомоморфизмов из $\mathbb Z_{20}$ можно заметить, что куча элементов обязана отправиться в 1, а фактор группа по ним маленькая.
3. Ну так посчитайте явно факторгруппу по коммутанту и разложите её в произведение циклических групп. У циклической группы одномерные представления легко написать.

[vpb]

Что-то мне эта ситуация сильно напоминает... Короче. Когда-то, давно уж, на мою голову свалился молодой человек типа аспиранта. Не по моей инициативе это произошло, но я особенно не возражал. И вот, надо было его учить алгебре, в частности группам, а в своих тьмутараканях он до того ничему такому особенно не учился.
Я дал ему несколько учебников (тогда еще с тырнетом туго было), и дал некоторый список "микроисследовательских" задач, которые были посложнее задач из задачника Кострикина, но попроще, чем настоящие исследовательские задачи (грубо говоря, на уровне несложной леммы из реальной работы).
(Где-то далеко у меня этот список лежит, оттуда помню только одну задачу: найти порядок группы автоморфизмов группы $Z_4\times Z_2$). И сказал: "читайте книжки, притом имея в виду данные задачи, и настойчиво думайте над ними. Когда в основном решите, обсудим, посмотрим, что дальше делать". (В итоге, увы, ничего путного из этого товарища не вышло. Бог свидетель, не моя вина.)

Так вот, данный список задач тоже выглядит как список задач, который руководитель (а скорее даже преподаватель, больно уж задачи простые) дал человеку (людям) для самостоятельной работы над ними. (Я даже не уверен (не утверждаю обратного, впрочем), что попытки самостоятельного решения принадлежат самому ТС, а не являются подсказками, данными тем же преподом.) А он нам этот список переправил. Короче, я думаю, что помогать тут особенно не надо. Разве что, если человек всё решит уже, по его мнению, и выложит тут, можно будет его решения "заполировать" уточнениями, улучшениями, комментариями и т.д. От такого подхода, имхо, будет больше толку для его умственно-математического развития. (Но коллеги вольны, конечно, по своему поступать, как им их собственная педагогическая интуиция подсказывает).

(где-то я выкладывал на форуме список книг по теории групп, и даже не один).

И, я считаю, если человек поймет, сколько есть одномерных представлений группы $Z_2\times Z_3$ и как они устроены, из первых принципов и определений и собственной головы, а не из слышанной на лекции общей теоремы о том, что количество одномерных представлений группы совпадает с порядком ее фактора по коммутанту, то тогда для него очевидным будет и то, как устроены представления прямого произведения. И тогда вот это указание

dgwuqtj в сообщении #1623382 писал(а):

Гомоморфизмы в произведение групп - это то же самое, что пары из гомоморфизмы в сомножители

окажется без надобности. Как-то так.

-- 23.12.2023, 14:10 --

Не, я понимаю, что то указание было дано из лучших побуждений, но, как известно, благими намерениями ... нувыпонели.

[niskon]

Раз появились какие-то переживания, то я приведу решения своих вопросов. Это была задача на зачете по алгебре, требовалось описать все (центр, коммутант, каноническое разложение фактор группы по коммутанту, нормальные и силовские подгруппы, гомоморфизмы в $Z_{20}$ и обратно, все неприводимые представления над $\mathbb{C}$ и пятимерные). Зачет я уже получил

Из того, что я спрашивал и что подсказали: Я написал все нормальные подгруппы, но почему только они? Наша группа порядка 18, нетривиальные подгруппы могут быть порядков: 2, 3, 6 и 9.
Подгруппа порядка 9 всего одна - это силовская и она нормальная.
Дальше все случаи я рассматривал одинаковым образом, опираясь на то, что нормальная подгруппа является объединением классов сопряженности, а также что все транспозиции порождают $S_3$, а тройные циклы $A_3$: пусть $H$ - это искомая нормальная подгруппа порядка 6. Если в ней есть элемент: $((12), 0)$, то в ней содержатся пары элементов со всеми транспозициями, а транспозиции порождают все $S_3$. Собственно это и будет просто нормальная подгруппа $S_3$. Если бы в H был элемент например $((123), 1)$, то тогда должен быть и $((132), 1)$, а из них различными произведениями элементов мы получим $A_3 \times Z_3$ ну и так далее остается рассмотреть только $((123), 0)$ и $((12), 1)$. Потому что $(\sigma, 2)$ будет описываться аналогичным образом, как и $(\sigma, 1)$.

С гомоморфизмами тоже все просто оказалось. Из $G$ в $Z_{20}$ это просто знак перестановки, переходит при четных в 0, при нечетных в 10.
А из $Z_{20}$ в $G$, так как $Z_{20}$ циклическая, порождается 1, следовательно достаточно рассмотреть куда единица переходит. Причем в 20 степени должна давать 0. Значит единица может перейти только в какую-нибудь транспозицию - таких гомоморфизма 3. Ну и четвертый - тривиальный.

С представлениями. Одномерные - задаются как корни из единицы третей степени в степени n (элемент из $Z_3$) на знак перестановки, напрмер так: $(\sigma, n) \mapsto \varepsilon_1^n \times sgn(\sigma)$. Двумерные - это просто движения треугольника, где матрицы поворотов/отражений будут домножаться на корни из единицы третьей степени.
Ну а пятимерные - например сумма пяти одинаковых одномерных представлений, как я написал строчкой выше. В матричной форме они просто записываются на диагонали.

P.S.
Если интересно понимание общей картины, то один семестр читалась теория групп (только конечные). По ней зачет и экзамен. Преподаватель никаких подсказок не давал, это не тот случай. У меня были сложности со строгостью обоснований, которая была необходима преподавателю даже на зачете. А вопрос задал, так как надеялся на какую-нибудь полезную подсказку, собственно ее я и получил. dgwuqtj, спасибо. Кстати говоря, я месяца три назад задавал вот этот вопрос - topic155616.html . Так вот тогда курс только начался, и на тот момент не было никакой информации ни про теоремы Силова, ни про коммутанты и тд. Кроме определений действительно ничего не знал)

Ну и в целом мне не очень понятны ваши переживания: задача для самостоятельного решения, из домашнего задания или еще откуда-то, здесь же явных решений не дают, и какие-нибудь наводящие подсказки бывают весьма полезны