Кватернионы в конечной неабелевой группе

[niskon]

Утверждение:
Если в конечной неабелевой группе все подгруппы нормальные, то в ней содержится подгруппа, изоморфная группе кватернионов.

Все что я пока знаю из этого утверждения - это определения.
Неабелева группа - отсутствует коммутативность.
Нормальная подгруппа - группа с одинаковыми левым и правым смежными классами, т. е. $gHg^{-1} = H : \forall g \in G$ и $ H\subset G $
Группа кватернионов $Q_8 = \{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}$

Подскажите, пожалуйста, хотя бы с чего начать, чтоб подступиться к доказательству?

Возможно, как одна из догадок, нужно построить гомоморфизм из какой-нибудь подгруппы или из всей группы, такой, что фактор-группа по ядру этого гомоморфизма будет изоморфна $Q_8$

[dgwuqtj]

Так как свойство, что все подгруппы нормальны, сохраняется при переходе к подгруппами, то можно считать, что у вас группа порождена двумя некоммутирующими переменными. Вы же знаете, как устроены циклические группы?

[niskon]

dgwuqtj в сообщении #1610438 писал(а):

Так как свойство, что все подгруппы нормальны, сохраняется при переходе к подгруппами, то можно считать, что у вас группа порождена двумя некоммутирующими переменными. Вы же знаете, как устроены циклические группы?

Если считать, что $ G = \left\langle a,b \right\rangle $, то тогда можно построить такой изоморфизм?:
$\varphi : Q_8 \mapsto H$, где $H = \left\lbrace a, b, ab, a^2, a^3, b^3, (ab)^3, a^4 = e \right\rbrace \subset G $
$1 \mapsto a^4 = b^4 = (ab)^4$
$-1 \mapsto a^2 = b^2 = (ab)^2$
$i \mapsto a$
$-i \mapsto a^3$
$j \mapsto b$
$-j \mapsto b^3$
$k \mapsto ab$
$-k \mapsto (ab)^3$

Если это действительно изоморфзим, то насколько я понимаю, нужно доказать:
0. Ваш вывод, так как для меня как-то неочевидно, почему из нормальности всех подгрупп следует, что группа порождена двумя элементами.
1. Что такая H найдется и является подгруппой.
2. Что такое отображение действительно является изоморфизмом.

[dgwuqtj]

0. Ниоткуда не следует, просто если $a, b \in G$ не коммутируют, то можно работать с $\langle a, b \rangle$ вместо $G$, в ней тоже все подгруппы нормальны.
1. Ну так это и надо доказывать по сути...

Я думал так. Если использовать знание про строение циклических групп, то можно считать, что $a, b$ имеют порядки в виде степени простых. Так как $1 \neq [a, b] \in \lanle a \rangle \cap \langle b \rangle$ по условию, то эти простые совпадают. Надо понять, почему это обязательно $2$.

Вы из всей теории групп знаете только определения из стартового поста? И задачу предполагается решить, ничего другого не используя?

[dgwuqtj]

Можно сразу теоремы Силова применить, чтобы разложить исходную группу в произведение $p$-групп. Надо будет доказать, что только $2$-группа может быть неабелевой и уже в ней искать $Q_8$.