Рассмотрим билинейное отображение

, задаваемое формулой

. При фиксированном

функция

непрерывна по

: если

по норме пространства

, то

в

- слабой топологии, откуда по условию

. То, что

непрерывно по

при фиксированном

, очевидно. По теореме Банаха-Штейнгауза отсюда получим что существует константа

такая, что

для всех

,

. Так как при фиксированном

функция

непрерывна по

, то

, где

. При этом из неравенства

получаем, что

для всех

. Таким образом, получаем непрерывное отображение

такое, что

для всех

,

.
Остается показать, что

есть

(изметрично вложенное в

). Пусть

для некоторого

. Если

в

-слабой топологии, то по условию

. Следовательно функционал

секвенциально непрерывен относительно

-слабой топологии. Так как

сепарабельно, то ограниченные по норме подмножества

метризуемы в

-слабой топологии. Поэтому из секвенциальной непрерывности функционала

следует его непрерывность относительно

-слабой топологии на ограниченных множествах. Теперь воспользуемся следующей теоремой, которая в учебнике Канторовича и Акилова названа теоремой Гротендика (глава 5, параграф 7, теорема 8).
Теорема. Если

- банахово пространство, то функционал

(где

- каноническое вложение

в

) тогда и только тогда, когда из сходимости направленности

в

-слабой топологии и того, что

для всех

следует, что

.
Согласно этой теореме

.