задача по функциональному анализу

[Bober2]

Добрый день, уважаемые участники форума. Наткнулся сегодня на интересную задачу по функану из учебника Богачева, Смолянова.
Пусть $X$ и $Y$ - банаховы пространства, причем $Y$ - сепарабельно. Пусть $S:Y^*\rightarrow X^*$ - линейное отображение. Доказать, что существование оператора $T:X\rightarrow Y$ такого. что $S=T^*$ равносильно следующему: если $y^*\rightarrow 0$ в *-слабой топологии, то $Sy^*\rightarrow 0$ в *-слабой топологии

В одну сторону это очевидно. Для того, чтобы доказать в другую я рассматривал следующий оператор $S^*:(X^*)^*\rightarrow (Y^*)^*$. Существует линейное изометрическое вложение $X$ в $(X^*)^*$. Поэтому можно рассматривать сужение $S|_X:X\rightarrow (Y^*)^*$. Хочется доказать, что образ $S|_X$ содержится в $Y$, но у меня не получилось этого доказать. Будут ли у вас какие-то идеи?

[KhAl]

Bober2 в сообщении #1622132 писал(а):

Для того, чтобы доказать в другую я рассматривал следующий оператор $S^*:(X^*)^*\rightarrow (Y^*)^*$.

Вообще-то для того, чтобы рассматривать такой оператор, нужно знать, что $S$ ограничен.

То, что из непрерывности оператора как отображения слабых (без $*$) топологий следует его ограниченность — простое следствие Хана-Банаха. Но что делать со $*$-слабой топологией я не знаю, там есть какой-то аналог Хана Банаха и что-то в той же главе Богачёва-Смолянова написано, но не знаю...

[KhAl]

А может, по-старинке? Для $x \in X$ искать $Tx \in Y$ такой, что $\langle x \mid S \varphi \rangle = \langle Tx \mid \varphi \rangle \; \forall \varphi \in Y^*$

[KhAl]

Непрерывный образ компакта — компакт.

А вот верно ли, что для выпуклого множества $M \subset X^*$, что из $*$-слабой вполне ограниченности следует ограниченность по норме? Иначе говоря, верно ли, что если $\forall x \in X$ множество $\{\langle \varphi \mid x \rangle \mid \varphi \in M \}$ ограничено, то $M$ ограничено по норме в $X^*$?

[thething]

Bober2
Если надоест решать, доказательство имеется в учебнике Хелемского, параграф про слабые топологии.

[Padawan]

Bober2 в сообщении #1622132 писал(а):

если $y^*\rightarrow 0$ в *-слабой топологии, то $Sy^*\rightarrow 0$ в *-слабой топологии

Имеется ввиду предел последовательности? Или непрерывность оператора $S$ относительно *- слабых топологий?

[Bober2]

Padawan в сообщении #1622225 писал(а):

Bober2 в сообщении #1622132 писал(а):

если $y^*\rightarrow 0$ в *-слабой топологии, то $Sy^*\rightarrow 0$ в *-слабой топологии

Имеется ввиду предел последовательности? Или непрерывность оператора $S$ относительно *- слабых топологий?

я имел ввиду $y_n^*\rightarrow 0$ в *-слабой топологии, то $Sy_n^*\rightarrow 0$ в *-слабой топологии. Я забыл указать, что говорил тут про последовательности

[Padawan]

Рассмотрим билинейное отображение $B\colon X\times Y^*\to\mathbb R$, задаваемое формулой $B(x,y^*)=(x,Sy^*)$. При фиксированном $x$ функция $B(x,y^*)$ непрерывна по $y^*$: если $y_n^*\to 0$ по норме пространства $Y^*$, то $y_n^*\to 0$ в $*$- слабой топологии, откуда по условию $(x,Sy_n^*)\to 0$. То, что $B(x,y^*)$ непрерывно по $x$ при фиксированном $y^*$, очевидно. По теореме Банаха-Штейнгауза отсюда получим что существует константа $M>0$ такая, что $|B(x,y)|\leqslant M\|x\|\|y^*\|$ для всех $x\in X$, $y^*\in Y^*$. Так как при фиксированном $x$ функция $B(x,y^*)$ непрерывна по $y^*$, то $B(x,y^*)=(Tx,y^*)$, где $Tx\in Y^{**}$. При этом из неравенства $|(Tx,y^*)|\leqslant M\|x\|\|y^*\|$ получаем, что $\|Tx\|\leqslant M\|x\|$ для всех $x\in X$. Таким образом, получаем непрерывное отображение $T\colon X\to Y^{**}$ такое, что $(Tx,y^*)=(x,Sy^*)$ для всех $x\in X$, $y^*\in Y^*$.
Остается показать, что $Z=TX$ есть $Y$ (изметрично вложенное в $Y^{**}$). Пусть $z=Tx$ для некоторого $x\in X$. Если $y^*_n\to 0$ в $*$-слабой топологии, то по условию $(z,y^*_n)=(Tx,y_n^*)=(x,Sy_n^*)\to 0$. Следовательно функционал $z\in Y^{**}$ секвенциально непрерывен относительно $*$-слабой топологии. Так как $Y$ сепарабельно, то ограниченные по норме подмножества $Y^*$ метризуемы в $*$-слабой топологии. Поэтому из секвенциальной непрерывности функционала $z$ следует его непрерывность относительно $*$-слабой топологии на ограниченных множествах. Теперь воспользуемся следующей теоремой, которая в учебнике Канторовича и Акилова названа теоремой Гротендика (глава 5, параграф 7, теорема 8).
Теорема. Если $X$ - банахово пространство, то функционал $F\in\pi(X)$ (где $\pi$ - каноническое вложение $X$ в $X^{**}$) тогда и только тогда, когда из сходимости направленности $f_\alpha\to 0$ в $*$-слабой топологии и того, что $\|f_\alpha\|\leqslant 1$ для всех $\alpha\in A$ следует, что $F(f_\alpha)\to 0$.
Согласно этой теореме $z\in Y$.

[KhAl]

Padawan
доказательство Канторовича и Акилова прекрасно!

[Padawan]

KhAl
Не понял о каком доказательстве Канторовича и Акилова Вы говорите, но процитированная теорема Гротендика в их "Функциональном анализе" приведена без док-ва, а дана ссылка на книгу Шефера Топологические векторные пространства. Но там она дана в более общем контексте двойственности локально выпуклых пространств, я док-во (да и формулировку) не смог осилить. Возможно, что в процитированном частном случае док-во проще будет. По сути нам надо доказать, что если функционал $F\in Y^{**}$ непрерывен в $*$- слабой топологии на всех ограниченных по норме подмножества $Y^*$, то он $*$-слабо непрерывен. Тут мне приходит на ум понятие фундаментального покрытия (покрытие $\{A_s\}_{s\in S}$ топологического пространства $X$ называется фундаментальным, если для любого множества $ M\subset X$ выполнено: $M$ замкнуто в $X$ тогда и только тогда, когда $M\cap A_s$ замкнуто в $A_s$ для любого $s\in S$ (в топологии подпространства). У нас есть покрытие $Y^*$ компактами $\{y^*\in Y^*\mid \|y^*\|\leqslant n\}$. Если оно фундаментально, то все ок.

[KhAl]

Padawan в сообщении #1622871 писал(а):

но процитированная теорема Гротендика в их "Функциональном анализе" приведена без док-ва

да, я именно про это доказательство! 0 строк, 0 слов, никаких предварительных знаний!

-- 18.12.2023, 16:25 --

P.S. вообще да, в процитированном случае док-во проще. Но вот фундаментальность я доказывать не умею, только саму теорему.