Предел функции

[Мироника]

Помогите, пожалуйста найти вот такой предел
$\lim\limits_{x\to\infty} (\tg \frac {\pi x} {2x+1})^\frac {1} {x}$
Подскажите с чего начать

[ИСН]

Разложить в ряд с хвостом аргумент тангенса, потом сам тангенс. Авось прояснится.

[ewert]

наверняка имелось в виду логарифмирование и потом правило Лопиталя. А если вручную -- то надо перейти от тангенса к котангенсу с последующей заменой ${1\over x}=t$, после чего получится известный $\mathop{\lim}\limits_{t\to0}t^t=1$ (впрочем, для его обоснования всё равно надо лопиталить, чтоб не мучиться).

[Мироника]

ewert писал(а):

наверняка имелось в виду логарифмирование и потом правило Лопиталя. А если вручную -- то надо перейти от тангенса к котангенсу с последующей заменой ${1\over x}=t$, после чего получится известный $\mathop{\lim}\limits_{t\to0}t^t=1$ (впрочем, для его обоснования всё равно надо лопиталить, чтоб не мучиться).

$\lim \limits_{x \to \infty} (\frac {1} {\ctg \frac {\pi} {2+ \frac {1} {x}}})^\frac {1} {x} =\lim \limits_{t\to0} (\frac {1} {\ctg \frac {\pi} {2+ t}})^t$
Это я к котангенсу перешла и сделала замену, а дальше как $\mathop{\lim}\limits_{t\to0}t^t=1$ получить?

Добавлено спустя 57 минут 39 секунд:

Ура! Все оказалось проще
$\lim\limits_{x\to\infty} (\tg \frac {\pi x} {2x+1})^ \frac {1} {x} =\lim\limits_{x\to\infty} (\tg \frac {\pi } {2+ \frac {1} {x}})^ \frac {1} {x} = \lim\limits_{t\to 0} (\tg \frac {\pi} {2+t})^t =\lim\limits_{t\to 0} (\frac {\sin \frac {\pi} {2+t}} {\cos \frac {\pi} {2+t}})^t = \lim\limits_{t\to 0} (\frac {\sin ^2 \frac {\pi} {2+t}} {\cos ^2 \frac {\pi} {2+t}})^\frac {t} {2} = \lim\limits_{t\to 0} (\frac {\frac {1} {2} (1- \cos \frac {\pi} {4+2t})} {\frac {1} {2} (1+ \cos \frac {\pi} {4+2t})})^\frac {t} {2} = \lim\limits_{t\to 0} (\frac {1- \cos \frac {\pi} {4+2t}} {1+ \cos \frac {\pi} {4+2t}})^\frac {t} {2} = (\frac {1- \cos \frac {\pi} {4}} {1+ \cos \frac {\pi} {4}})^0=1$
Если не трудно, проверьте, пожалуйста, верно ли я мыслю

[Henrylee]

Мироника писал(а):

$$\lim\limits_{t\to 0} (\frac {\sin ^2 \frac {\pi} {2+t}} {\cos ^2 \frac {\pi} {2+t}})^\frac {t} {2} = \lim\limits_{t\to 0} (\frac {\frac {1} {2} (1- \cos \frac {\pi} {4+2t})} {\frac {1} {2} (1+ \cos \frac {\pi} {4+2t})})^\frac {t} {2}$$

А Вас не смущает, что знаменатель стремился к нулю в левой части, а в правой нет? А по существу, Вы перепутали половинный угол с двойным.

[antbez]

Да. Вроде бы всё так! Хотя многие бы предпочли тут логарифмирование!

[ewert]

$$\lim\limits_{x\to\infty} \left(\tg \frac {\pi x} {2x+1}\right)^\frac {1} {x}=\lim\limits_{x\to\infty} \left[\ctg\left({\pi\over2}-{\pi x\over2x+1}\right)\right]^{1\over x}=\lim\limits_{x\to\infty} \left[\ctg\left({\pi\over4+2x}\right)\right]^{1\over x}=$$

$$=\left[\begin{matrix}\text{обоснуйте}\\\text{сами}\end{matrix}\right]=\lim\limits_{x\to\infty} \left({2x\over\pi}\right)^{1\over x}=\left[t={1\over x}\right]=\lim\limits_{t\to0} \left({2\over\pi t}\right)^{t}={1\over\lim\limits_{t\to0} t^{t}}=1$$

-----------------------------------------------------------
, но лучше всё же прологарифмировать и в подходящий момент пролопиталить, чтоб не ссылаться на последний предел.

А версия автора, конечно, неверна. Так дёшево от нулей или бесконечностей в основании не избавиться.

[bot]

antbez в сообщении #162197 писал(а):

Вроде бы всё так!

Нет не так, а что именно не так уже сказали:

Henrylee в сообщении #162196 писал(а):

Вы перепутали половинный угол с двойным

antbez в сообщении #162197 писал(а):

Хотя многие бы предпочли тут логарифмирование!

Я бы предпочёл именно этот путь - логарифмируем, находим предел и его потенцируем, все законно, поскольку предел перестановочен с непрерывной функцией.

[Мироника]

Про логарифмирование в пределах слышу впервые, поэтому попробую предположить, что это должно выглядеть так:
$y=\lim\limits_{x\to\infty} (\tg \frac {\pi x} {2x+1})^ \frac {1} {x}$
$\ln y=\ln (\lim\limits_{x\to\infty} (\tg \frac {\pi x} {2x+1})^ \frac {1} {x})$
$\ln y=\lim\limits_{x\to\infty} \ln (\tg \frac {\pi x} {2x+1})^ \frac {1} {x}$
$\ln y=\lim\limits_{x\to\infty}(\frac {1} {x} \ln (\tg \frac {\pi x} {2x+1}))$
$\ln y=\lim\limits_{x\to\infty}(\frac {\ln (\tg \frac {\pi x} {2x+1})} {x} )$
$\ln y=\lim\limits_{x\to\infty}(\frac {\frac {1} {\tg \frac {\pi x} {2x+1}} \frac {1} {\cos ^2 \frac {\pi x} {2x+1}} \frac {\pi 2x+\pi-\pi x2} {(2x+1)^2}} {1} )$
$\ln y=\lim\limits_{x\to\infty}(\frac {1} {\tg \frac {\pi x} {2x+1}} \frac {1} {\cos ^2 \frac {\pi x} {2x+1}} \frac {\pi } {(2x+1)^2})$
$\ln y=\lim\limits_{x\to\infty}(\frac {1} {\sin\frac {\pi x} {2x+1} \cos \frac {\pi x} {2x+1}} \frac {\pi } {(2x+1)^2})$
$\ln y=\lim\limits_{x\to\infty}(\frac {2} {\sin\frac {2\pi x} {2x+1} } \frac {\pi } {(2x+1)^2})$

Верно? и что же дальше?

[ewert]

Неверно. Вы косинус с тангенсом неправильно сократили. А если сделать правильно, то кой-какие проблемы ещё останутся.

[Мироника]

ewert в сообщении #162243 писал(а):

Неверно. Вы косинус с тангенсом неправильно сократили

Это уже увидела, исправила. А как же проблемы оставшиеся решить?

[ИСН]

Я не понимаю ни слова, начиная с той строчки, на которой из правой части куда-то (куда?) делся логарифм.

[Henrylee]

ИСН писал(а):

(куда?) делся логарифм.

Лопиталь съел

[ewert]

Мироника в сообщении #162246 писал(а):

Это уже увидела, исправила. А как же проблемы оставшиеся решить?

Ну перекиньте последний знаменатель вверх в виде отрицательной степени и еще раз пролопитальте.

Это например. Разумнее, конечно, применить формулу приведения ($\sin(\pi+t)=-\sin t$) и воспользоваться 1-м замечательным пределом.

[ИСН]

Henrylee писал(а):

ИСН писал(а):

(куда?) делся логарифм.

Лопиталь съел

А! Ух!
Ну... какая, впрочем, разница. Любые правильные методы дадут одно и то же.