Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом

[Red_Herring]

Утундрий
Вы предполагаете, что решение ищется в круге. Нет, решение ищется в круге с дырками. Вот такая задача:

\left\{ \begin{aligned}&\Delta u=0 &&1<r<2\\ &u|_{r=1}=0,\\ &u|_{r=2}=1\end{aligned}\right.

имеет решение $u=\frac{2}{3}(r-r^{-1})$. И его определять вне кольца даже не надо

-- 06.12.2023, 05:22 --

Vince Diesel в сообщении #1621171 писал(а):

В данном будет непрерывность, так как граничная точка ноль регулярна
.

Оно, конечно, так--но не нужно. Граничная функция не обязана быть непрерывной.

[thething]

Red_Herring в сообщении #1621173 писал(а):

Граничная функция не обязана быть непрерывной.

А на что Вы тогда ссылаетесь, говоря про существование и единственность решения?

[Red_Herring]

Там очень много теорем, особенно для задачи Дирихле и/или 2мерного случая. Но в данном случае я хочу только сказать, что претензии к ТС по поводу "криво поставленной задачи" абсолютно беспочвенны.

[KhAl]

Red_Herring
простите за безграмотность, а как доказать, что есть решение? я только ядро Пуассона знаю.

[Red_Herring]

Я упоминал что доказательств очень много. Например, через суб и супергармонические функции, если экзотики хочетса

[Doctor Boom]

Red_Herring в сообщении #1621173 писал(а):

имеет решение $u=\frac{2}{3}(r-r^{-1})$.

Там же логарифм будет

[Padawan]

Red_Herring в сообщении #1621144 писал(а):

конформно отображение $z\to z^{-1}$ переводит ее в такую область

Можно конформно отобразить область на круг с выкинутым овалом (чтобы прямые $x=\pm 1$ перешли в $|w|=1$ а окружность $x^2+y^2=\rho^2$ - в замкнутую гладкую кривую - границу овала). Тогда вопросов про разрешимость ещё меньше будет.

[matwey]

Padawan в сообщении #1621239 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1621144 писал(а):

конформно отображение $z\to z^{-1}$ переводит ее в такую область

Можно конформно отобразить область на круг с выкинутым овалом (чтобы прямые $x=\pm 1$ перешли в $|w|=1$ а окружность $x^2+y^2=\rho^2$ - в замкнутую гладкую кривую - границу овала). Тогда вопросов про разрешимость ещё меньше будет.

А вот не получится ли подшаманить и последующим конформным преобразованием превратить выкинутый овал в выкинутый круг? Таким образом получится круг с выкинутым кругом, а с этим мы знаем что делать.

[Red_Herring]

Doctor Boom в сообщении #1621223 писал(а):

Там же логарифм будет

Да, конечно, логарифм + константа

[Утундрий]

Согласен, моё рассуждение не работает.

[KhAl]

Red_Herring в сообщении #1621217 писал(а):

Я упоминал что доказательств очень много.

мне бы хотя бы одно... можно?

Red_Herring в сообщении #1621217 писал(а):

Например, через суб и супергармонические функции, если экзотики хочетса

экзотику, к своему стыду, люблю.

[thething]

Padawan в сообщении #1621239 писал(а):

Можно конформно отобразить область на круг с выкинутым овалом (чтобы прямые $x=\pm 1$ перешли в $|w|=1$ а окружность $x^2+y^2=\rho^2$ - в замкнутую гладкую кривую - границу овала). Тогда вопросов про разрешимость ещё меньше будет.

Всё равно останется вопрос про непрерывность вплоть до границы в одной точке (куда там бесконечность отобразилась). Ну, правда, говорят, есть регулярные граничные точки (я с такими не знаком), так что, быть может, и вопросов не будет. Интересно, есть ли обоснование хотя бы единственности "элементарными" средствами, или надо обязательно привлекать какие-то мощные факты?

[Padawan]

thething
Насчет существования решения - у нас задача Дирихле для уравнения Лапласа в колцеобразной области с гладкой границей с непрерывными данными на границе. Есть стандартные теоремы существования. Единственность следует из обобщённого принципа максимума, который допускает, чтобы на границе было конечное число точек, при приближении к которым функция остаётся ограниченной (без требования ограниченности решения единственности не будет) .

[Doctor Boom]

Red_Herring в сообщении #1621253 писал(а):

Да, конечно, логарифм + константа

$u=\frac{\ln(r)}{\ln(2)}$

[thething]

Padawan
Спасибо, про обобщённый принцип максимума совсем забыл. Я думал о чём-то вроде принципов симметрии и леммы об устранимой особенности.