2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11065
Hogtown
Утундрий
Вы предполагаете, что решение ищется в круге. Нет, решение ищется в круге с дырками. Вот такая задача:

\left\{
\begin{aligned}&\Delta u=0 &&1<r<2\\ &u|_{r=1}=0,\\ &u|_{r=2}=1\end{aligned}\right.

имеет решение $u=\frac{2}{3}(r-r^{-1})$. И его определять вне кольца даже не надо

-- 06.12.2023, 05:22 --

Vince Diesel в сообщении #1621171 писал(а):
В данном будет непрерывность, так как граничная точка ноль регулярна
.
Оно, конечно, так--но не нужно. Граничная функция не обязана быть непрерывной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Red_Herring в сообщении #1621173 писал(а):
Граничная функция не обязана быть непрерывной.

А на что Вы тогда ссылаетесь, говоря про существование и единственность решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11065
Hogtown
Там очень много теорем, особенно для задачи Дирихле и/или 2мерного случая. Но в данном случае я хочу только сказать, что претензии к ТС по поводу "криво поставленной задачи" абсолютно беспочвенны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 15:45 


13/01/23
307
Red_Herring
простите за безграмотность, а как доказать, что есть решение? я только ядро Пуассона знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11065
Hogtown
Я упоминал что доказательств очень много. Например, через суб и супергармонические функции, если экзотики хочетса

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 18:45 
Аватара пользователя


22/07/22

897
Red_Herring в сообщении #1621173 писал(а):
имеет решение $u=\frac{2}{3}(r-r^{-1})$.

Там же логарифм будет

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 20:04 
Заслуженный участник


13/12/05
4521
Red_Herring в сообщении #1621144 писал(а):
конформно отображение $z\to z^{-1}$ переводит ее в такую область

Можно конформно отобразить область на круг с выкинутым овалом (чтобы прямые $x=\pm 1$ перешли в $|w|=1$ а окружность $x^2+y^2=\rho^2$ - в замкнутую гладкую кривую - границу овала). Тогда вопросов про разрешимость ещё меньше будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 20:44 


25/11/16
7
Padawan в сообщении #1621239 писал(а):
Red_Herring в сообщении #1621144 писал(а):
конформно отображение $z\to z^{-1}$ переводит ее в такую область

Можно конформно отобразить область на круг с выкинутым овалом (чтобы прямые $x=\pm 1$ перешли в $|w|=1$ а окружность $x^2+y^2=\rho^2$ - в замкнутую гладкую кривую - границу овала). Тогда вопросов про разрешимость ещё меньше будет.


А вот не получится ли подшаманить и последующим конформным преобразованием превратить выкинутый овал в выкинутый круг? Таким образом получится круг с выкинутым кругом, а с этим мы знаем что делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11065
Hogtown
Doctor Boom в сообщении #1621223 писал(а):
Там же логарифм будет

Да, конечно, логарифм + константа

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11623
Согласен, моё рассуждение не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение06.12.2023, 21:17 


13/01/23
307
Red_Herring в сообщении #1621217 писал(а):
Я упоминал что доказательств очень много.
мне бы хотя бы одно... можно?
Red_Herring в сообщении #1621217 писал(а):
Например, через суб и супергармонические функции, если экзотики хочетса
экзотику, к своему стыду, люблю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение07.12.2023, 03:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Padawan в сообщении #1621239 писал(а):
Можно конформно отобразить область на круг с выкинутым овалом (чтобы прямые $x=\pm 1$ перешли в $|w|=1$ а окружность $x^2+y^2=\rho^2$ - в замкнутую гладкую кривую - границу овала). Тогда вопросов про разрешимость ещё меньше будет.

Всё равно останется вопрос про непрерывность вплоть до границы в одной точке (куда там бесконечность отобразилась). Ну, правда, говорят, есть регулярные граничные точки (я с такими не знаком), так что, быть может, и вопросов не будет. Интересно, есть ли обоснование хотя бы единственности "элементарными" средствами, или надо обязательно привлекать какие-то мощные факты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение07.12.2023, 06:59 
Заслуженный участник


13/12/05
4521
thething
Насчет существования решения - у нас задача Дирихле для уравнения Лапласа в колцеобразной области с гладкой границей с непрерывными данными на границе. Есть стандартные теоремы существования. Единственность следует из обобщённого принципа максимума, который допускает, чтобы на границе было конечное число точек, при приближении к которым функция остаётся ограниченной (без требования ограниченности решения единственности не будет) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение07.12.2023, 07:11 
Аватара пользователя


22/07/22

897
Red_Herring в сообщении #1621253 писал(а):
Да, конечно, логарифм + константа

$u=\frac{\ln(r)}{\ln(2)}$ :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для оператора Лапласа в полосе с вырезом
Сообщение07.12.2023, 07:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Padawan
Спасибо, про обобщённый принцип максимума совсем забыл. Я думал о чём-то вроде принципов симметрии и леммы об устранимой особенности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group