Да, посмотрите ролик.
Авторы там решают задачку с одной монеткой.
В общем случае идея простая. Есть конечный автомат, стартуя из некоторого состояния
можно за один шаг или перейти в другое состояние
с вероятностью
, или на этом шаге выиграть с вероятностью
, или проиграть, три этих события несовместны и их вероятность в сумме равна единице, выигрыш или проигрыш останавливают игру.
Пусть
- вероятность того, что стартуя из состояния
мы в конце концов выиграем, а
- матожидание длины выигрышной последовательности начиная из состояния
(при условии, что мы выиграли). Так как на каждом шаге выигрыш, проигрыш и переход в определённое другой состояни - несовместные события, мы эти матожидания можем по ним разложить в сумму по несовместным альтернативам. Мы или выигрываем за один шаг с вероятностью
, или выигрываем начиная с перехода в одно из состояний
с ожидаемой длиной выигрыша
. Суммируем, учитываем, что матожидания условные при условии выигрыша, получаем рекуррентные уравнения:
Записываем в матричной форме, решаем, получаем: