Достаточная статистика нормального распределения

[Daniiiil]

Добрый день, уважаемые математики! В учебнике говорится:

При этом критерий факторизации таков:


Да, все логично. Но ведь получается, что при разложении на множители $g(\theta, x)$ и $h(x)$ получится, что $h(x)$ вообще не зависит от $x$.

Можете уточнить, прав я или нет? И если да, то какой смысл в такой факторизации?)

Спасибо за ваше время и внимание!

-- 30.11.2023, 17:05 --

Разобрался) Получается, в данном случае мы получаем более логичный и более эффективный способ вычислять вероятность.

Хотя никакой перспективы на вычисление условной вероятности по заданной $T(\theta, x)$ здесь не появляется)

[ShMaxG]

Daniiiil в сообщении #1620479 писал(а):

Но ведь получается, что при разложении на множители $g(\theta, x)$ и $h(x)$ получится, что $h(x)$ вообще не зависит от $x$.

Конкретно в данном случае можно взять $h(x)\equiv1$, то есть функцию-константу. Ну формально она тоже зависит от икса, но каждому иксу сопоставляет единицу. Естественно бывают случаи, когда $h(x)$ не константа.

Текст после "Разобрался" я не понял.

[Daniiiil]

ShMaxG в сообщении #1620530 писал(а):

Daniiiil в сообщении #1620479 писал(а):

Но ведь получается, что при разложении на множители $g(\theta, x)$ и $h(x)$ получится, что $h(x)$ вообще не зависит от $x$.

Конкретно в данном случае можно взять $h(x)\equiv1$, то есть функцию-константу. Ну формально она тоже зависит от икса, но каждому иксу сопоставляет единицу. Естественно бывают случаи, когда $h(x)$ не константа.

Текст после "Разобрался" я не понял.

ShMaxG, да, согласен с вами.

Я имел в виду, что в данном случае вычисление вероятности через статистику будет проще, т. к. статистика - это 2 готовые уже посчитанные суммы. И также здесь при заданной статистике $t$ условная плотность вероятности любого $x$ одинакова.

[ShMaxG]

Daniiiil
Критерий факторизации -- инструмент для выявления достаточных статистик. Достаточные статистики нужны для экономии данных. Действительно, разумные оценки неизвестных параметров распределений (максимального правдоподобия, эффективные и оптимальные оценки) зависят не просто от выборки, а от достаточной статистики, которая зачастую является вектором небольшой размерности (в указанном Вами выше случае -- размерности 2). Это значит, что для оценивания параметров достаточно хранить только достаточную статистику, а не всю выборку, объем которой может быть очень большим. Критерий факторизации нужен, чтобы находить такие достаточные статистики, а не чтобы вероятность или плотность как-то быстрее считать.

[Combat Zone]

И тут нет условных вероятностей.

[Daniiiil]

ShMaxG, понял вас. Дело в том, что при одном и том же $t = T(x)$ могут быть разные значения $h(x)$, соответственно, будут различаться вероятности для разных $x$, соответствующих данному $t$. И здесь можно выделить условную вероятность $p(x|t) ~ h(x)$ для каждого из этих значений $x$.

В учебнике дали затравку, будто бы факторизация используется для условных вероятностей) Я подумал, мб, это как-то используется при попытке найти распределение по известной выборке.