Учесть сосредоточенное воздействие на распределенный элемент

[poleja]

Добрый день!
Пытаюсь понять как учесть сосредоточенное воздействие на распределенный элемент.
К примеру простейший вариант - продольная балка, к которой приложено продольное гармоническое возмущение.
Как составить математическую модель, а точнее как от конечной модели перейти к непрерывной с учетом приложения сосредоточенной силы?
Я так понимаю должны появиться обобщенные функции. Но как выглядит обоснование?
Какова техника предельного перехода? Как перейти к обобщенным функциям?

Схему до момента, который у меня вызывает вопрос.
1) Беру балку - разделяю её на сосредоточенные массы и упругие элементы. (между массами в состоянии покоя расстояние равно длине деленой на количество элементов, масса элемента часть балки)
2) Составляю уравнения Лагранжа 2-ого рода.
3) В итоге получается конечная система линейных уравнений, в которой сосредоточенная гармоническая нагрузка представлена гармонической силой приложенной к последнему элементу.

Если все строки разделить на квадрат приращения расстояния то получается уравнение в частных производных за исключением дробей, который стремятся к бесконечности.
Это слагаемые как-то должны быть связаны с обобщенными функциями.
Как корректно перейти к непрерывной модели?
интересуют примеры и сама схема обоснования .

Спасибо.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- перенесите основные выкладки непосредственно в пост, правильно набрав формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[amon]

poleja в сообщении #1620095 писал(а):

Как корректно перейти к непрерывной модели?

У вас есть цепочка шариков, соединенных пружинками. Вы прикладываете к $k$ - ому шарику некую силу $F_k.$ Координата этого шарика $q_k.$ При переходе к непрерывному пределу $q_k$ становится смещением $q(x),$ где $x$ играет роль непрерывного индекса, соответствующего $k$ в дискретной модели. Сила $F_k$ становится силой $F(x),$ приложенной в некой точке $x_0.$ Ее можно записать как $P(t)\delta(x-x_0).$ Подставляете ее в правую часть уравнения, интегрируете уравнение по окрестности точки $ x_0,$ и получаете граничное условие в этой точке.

[poleja]

Благодарю за ответ!
Выглядит всё правдоподобно.
Если записать уравнение Лагранжа второго рода для крайнего шарика, к которому приложена сила, это дискретное по переменной х уравнение. Если разделить на квадрат шага по пространственной переменной, то мы как раз получаем сеточное представление второй частной производной по x. Но! Оно содержит слагаемое сила поделить на квадрат шага по пространственной переменной (можно согласиться, что это аналог произведения Силы на функцию Дирака), но там ещё есть слагаемое -сеточная частная производная по пространственной переменной деленная на приращение пространственной переменной, то есть ещё одна потенциальная бесконечность или функция Дирака умноженная на что-то. Короче говорят тут и возникают вопросы, то ли функция Дирака, то ли её производная, толи нужно учесть начальные условия. Я пытаюсь связать и дискретную модель, в которой есть сеточные частные производные, и есть "артефакты", которые при уменьшении сетки стремятся к бесконечности. Я так понимаю, что эти "артефакты" должны перейти в функции Дирака или их производные или же в краевые условия. Тут у меня как раз затруднения, так как предельный вариант дискретной модели не состыковывается с итоговым непрерывным.