подбрасываем монетку. что раньше ОО или ОР

[мат-ламер]

gris в сообщении #1620031 писал(а):

Посмотрел-таки ролик "Что выпадет раньше: ОО или ОР? Шокирующая задача от Алексея Савватеева!"

Может таки и условие проясните? Там одна монетка на двоих или у каждого своя монетка?

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #1620051 писал(а):

Может таки и условие проясните? Там одна монетка на двоих или у каждого своя монетка?

Там два напёрсточника. Первый предлагает игру, в которой за каждый бросок монеты надо заплатить рубль, но получить 5 рублей, если выпадет $OP$. Второй предлагает игру, в которой за каждый бросок монеты надо заплатить рубль, но получить 5 рублей, если выпадет $OO$. После получения 5 рублей там и там игра начинается заново. У кого играть выгоднее?

[gris]

(Amv про дам-с)

Amw, я не вытерпел и произвёл миллион раскладов и у меня получилось 23%
Правда, это для 3 и больше 2 дам на руке. Пересчитаю:

for 1 000 000 games we have 220199 layouts with exactly 3 Queens on some hand
for 1 000 000 games we have 17 668 layouts with exactly 4 Queens on some hand

Всё-равно на 1 % я ошибаюсь Ошибка в программе... Как обычно

{N=1 000 000;
k=0; 
cd=vector(32); cd[1]=1;cd[2]=1;cd[3]=1;cd[4]=1;
for( i=1,N,
  for( h=1,32, ic=random(33-h)+1;r=cd[h];cd[h]=cd[ic];r=cd[ic]=r; );
  hd=vector(3,i,vecsum(vector(10,j,cd[i*10-10+j]))); 
  if(hd[1]==3 || hd[2]==3 || hd[3]==3,k++);
  );
  printf("for %d games we have %d layouts with 3 or more  
Queens on some hand\n",N,k);
}
 

[Amw]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1620062 писал(а):

это для 3 и больше 2 дам

Там не так, я извиняюсь за карточный жаргон... Смотрите в теме "Преф и поезд"

[Doctor Boom]

Я решал так. Пусть есть строка длины $n$ (очень большое число) О и Р, рассмотрим пары монеток, их число будет $\frac{n}{2}$. Число пар вида ОО равно $\frac{n}{8}$. Есть еще один нюанс - если перед сетом из пар вида ОО будет пара вида XO, а после сета пара вида OX, то число пар ОО увеличится на одну, поэтому надо сначала найти число таких сетов вида ХООХ, ХООООХ и т.д. просуммировав получим ряд $\frac{n}{2}(\frac{1}{16}+ \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} +\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{16} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4^3}+..)=\frac{n}{24}$. Сложив все это, получим число пар ОО подряд, которые мы насчитаем походу движения, и теперь если мы разделим наше $n$ на это число, получим среднюю длину цепочки, которую замыкают OO, т.е. $\frac{1}{\frac{1}{8}+\frac{1}{24}}=6$
Для пар вида OP аналогично. Число пар вида OP равно $\frac{n}{8}$, а число пар вида XOPX равно $\frac{n}{8}$, в итоге имеем $\frac{1}{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}=4$

[TOTAL]

Находим матожидание (числа бросков до выигрыша) для $OO$ лохотрона:
$M = \frac12 (1+M) +\frac14 (2+M) + \frac14\cdot 2 \rightarrow M=6$

Для $OP$ лохотрона:
$M = \frac12 (1+M) + \frac14\cdot 2 + \frac18\cdot 3 + \frac1{16}\cdot 4 + \dots \rightarrow M=4$

[Doctor Boom]

Забавно, что у нас бесконечные суммы махнулись местами

[realeugene]

А как-нибудь можно посчитать схему с одновременными бросками монеток без обращения матрицы $4 \times 4$?

[Doctor Boom]

realeugene
Что за схема?

[realeugene]

gris в сообщении #1619838 писал(а):

00 463453 выигрыш 00
01 676858 выигрыш 01

Точные значения - $56/121 \approx 0.4628$ и $82/121 \approx 0.6777$.

[Vadim32]

gris в сообщении #1619736 писал(а):

Обнаружили в ютюбе. Сам я ролик ещё не смотрел, но к ответу призвали. Значит, признали
Начинаем подбрасывать монетку. Что в среднем выпадет раньше: два орла или орёл-решка подряд.
Говорят, что надо цепи Маркова, либо матожидания. И заодно найти среднее число бросков до победы.
Я так попробовал:
берём случайный достаточно длинный вектор из нулей и единиц. И смотрим, что выпало раньше: 00 или 01. И на каком шаге. Считаем, считаем миллион раз.
Например
1100110
Тут победила 00 на броске 4.
1010000
Тут победила 01 на броске 3.
У меня получилось
n00=500760 n01=499240
k00=3.0031 k01=3.0014
То есть каждая комбинация выпадает с одинаковой вероятностью в среднем на третьем броске.
Мне сказали, что неправильно.
Что не так

Если вы говорите об этом ролике https://youtu.be/cnwNofeaBy0, который вышел в день Вашего поста, то вы неправильно поняли условие. А именно - понятие в среднем означает длительную игру и подсчёт количества подпоследовательностей [Орёл Решка] и [Орёл Орёл]. Длина поделённая на количество это и есть средняя длина единичного выпадения.

В Вашем примере 1
1100110
Количество[00]=1
Количество[01]=1
Длина последовательности 7
Средняя длина [00] 7/1=7
Средняя длина [01] 7/1=7

В примере 2
1010000
Количество[00]=3
Количество[01]=1
Длина последовательности 7
Средняя длина [00] 7/3
Средняя длина [01] 7/1

Там в задаче условие, что игра на выигрыш [Орёл Орёл] отличается от игры на выигрыш [Орёл Решка] тем, что после выигрыша [Орёл Орёл] последовательность нельзя продолжать. Нельзя тремя бросками [Орёл Орёл Орёл] получить два выигрыша сразу. Условие игры отличаются от игры в [Орёл Решка] тем, что в случае выигрыша она прерывается и начинается заново. Это то же самое, что предыдущий Орёл заменить на Решку. Последовательность три орла будет выглядеть так - [Орёл Орёл->Решка Орёл] первый выигрыш засчитывается, но второй не засчитывается, потому что второй орёл заменили решкой.

Поэтому, есть две разные задачи на игру ОО. С заменой орла на решку в случае выигрыша и без замены.
В видеоролике идёт игра заменой.

Для игры с заменой задача выглядит так.

Есть 4 состояния и 4 вероятности находиться в одном из этих состояний.
P0= {предыдущий-ОРЁЛ, текущий-ОРЁЛ} - выигрыш
P1= {предыдущий-ОРЁЛ, текущий-РЕШКА}
P2= {предыдущий-РЕШКА, текущий-ОРЁЛ}
P3= {предыдущий-РЕШКА, текущий-РЕШКА} - его также можно принять за начальное состояние.

Если составить граф переходов из одного состояния в другое, то получим систему уравнений, каждое из которых есть вероятность попадания в текущее состояние из возможных предыдущих состояний.

P0=P2/2 - единственный способ попасть в состояние P0 это выйти из P2 с орлом.
P1=P2/2 - единственный способ попасть в состояние P1 это выйти из P2 с решкой.
P2=P1/2+P3/2 - два способа попасть в P2, из P1 и P3 выйти с орлом.
P3=P0+P1/2+P3/2 - три способа попасть сюда: из состояния выигрыш, а также из P1 и P3 выйти решкой.
Ещё добавляем сумму всех вероятностей
P0+P1+P2+P3=1

решаем, получаем
P0=1/7
P1=1/7
P2=2/7
P3=3/7

Ответ: 7 бросков в среднем надо делать чтобы в игре с заменой получить [Орёл Орёл]

[TOTAL]

Vadim32 в сообщении #1620567 писал(а):

В примере 2
1010000
Количество[00]=3
Количество[01]=1
Длина последовательности 7
Средняя длина [00] 7/3
Средняя длина [01] 7/1

Не так, количество[00]=2

[realeugene]

Пусть у нас $P_{ij}$ - вероятность перехода из состояния $i$ в состояние $j$ за один шаг, $q_i$ - вероятность выигрыша в состоянии $i$ за один шаг, выигрыш останавливает игру. $q_i + \sum_j P_{ij} \le 1$. Как правильно составить рекуррентное уравнение для расчёта средней длины выигрышной последовательности из каждого начального состояния?

[realeugene]

gris в сообщении #1619844 писал(а):

00 2.950543964522361545144516915
01 3.334413669446639849952225355

$$\overline {L_{00}} = \frac {227} {77} \approx 2.948051948051948$$

$$\overline {L_{01}} = \frac {1504} {451} \approx 3.3348115299334813$$

Сомнительно, что эту задачу можно решить обходными путями.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1620644 писал(а):

Сомнительно, что эту задачу можно решить обходными путями.

Сегодня уже поздно. А завтра попробую для интереса всё же пойти обходной дорогой. Имеем две марковские цепи с четырьмя состояниями ... (Это, если я правильно понял условие. Надо будет всё же ролик посмотреть). Интересно будет сравнить ответы.