Как получается триплет?

[finn_parnichka2]

Почему в триплетном состоянии присутствует волновая функция в виде $\Psi_1_2 = \psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)+\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow) $ ? Ведь она представляет два состояния с противоположными проекциями спина на выбранную ось. Как получается s=1 для такой волновой функции?

[Cos(x-pi/2)]

Чтобы всё было точно, надо в этой спиновой функции ещё дописать номировочный множитель $\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Эта функция $\Psi_{12}$ представляет спиновое состояние системы двух частиц, имеющих спины $s_1=s_2=1/2,$ как одно из трёх возможных состояний системы с определённой проекцией $S_z$ суммарного спина $S=1.$ Это состояние с $S_z=0.$

При $S=1$ возможные значения $S_z$ есть $1,\,0,\,-1.$ Каждое из них равно сумме возможных значений проекций спина $s_z$ двух частиц $\pm 1/2$ с соответствующими знаками. Для $S_z=1$ и для $S_z=-1$ спиновые волновые функции системы тех же двух частиц в триплетном состоянии (т.е. по-прежнему c $S=1)$ есть соответственно $\psi_1(\uparrow)\psi_2(\uparrow)$ и $\psi_1(\downarrow)\psi_2(\downarrow).$

Система этих же двух частиц может находиться и в синглетном состоянии, т.е. со спином $S=0.$ При этом проекция спина системы равна нулю: $S_z=0.$ Спиновая волновая функция системы в синглетном состоянии:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\, (\, \psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)-\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow)\,) $$

Отличие синглетного спинового состояния от триплетного с $S_z=0,$ наряду с тем, что в нём спин $S$ равен нулю, а не единице, заключается в том, что синглетное состояние инвариантно к поворотам. А три триплетных состояния при поворотах преобразуются друг через друга, превращаясь в линейные комбинации, не имеющие определённого значения $S_z;$ (принцип суперпозиции в квантовой механике допускает состояния с неопределёнными значениями той или иной физической величины - такие состояния имеют вид линейных комбинаций состояний с определёнными значениями данной физической величины; в этом примере такой величиной является $S_z).$ Кроме того, видно, что триплетные функции $\Psi_{12}$ инвариантны к перестановке номеров $1,2$ (симметричны), а синглетная функция меняет знак (антисимметрична).

Чтобы понять, как получаются формулы триплета и синглета, надо подробно изучать теорию углового момента (момента импульса) в квантовой механике. Там есть "повышающие и понижающие операторы"; действуя такими операторами на одно из состояний мультиплета с заданной величиной момента импульса, можно получить остальные состояния этого же мультиплета. Явный вид операторов зависит от того, идёт ли речь об орбитальном моменте импульса, либо о спине, либо об их сумме. И есть в теории понятие "сложение моментов". Это целая большая наука...

Для Вашего вопроса основные факты (они выводятся в теории) вот какие:

Определённое значение момента импульса $J$ в общем случае это неотрицательное целое или полуцелое число; или ноль, при $J=0$ всегда $J_z=0.$ Если $J>0,$ то проекция момента $J_z$ принимает значения

$$J_z=J,\, J-1,\, ...\,, -J$$

Видно, что в списке значений $J_z$ при полуцелом $J$ (например, если $J$ это спин $s=1/2)$ нет нуля. А при целом - есть значение $J_z=0$; так и обстоит дело в примере, где $J$ это суммарный спин $S=1$ или $S=0$ двух частиц.

"Сложение" моментов импульса: если $J_1$ и $J_2$ - моменты импульса двух систем (это неотрицательные числа), то для системы, составленной из этих двух систем, возможные определённые значения момента есть

$$J\,=\,J_1+J_2,\, J_1+J_2-1,\,...\,,\,|J_1-J_2|$$

При $J_1=J_2=0$ суммарный момент равен нулю: $J=0.$ В примере, где роль $J_1$ и $J_2$ играют спины частиц $s_1=s_2=1/2,$ указанное "правило сложения моментов" даёт два возможных значения суммарного спина: $S=1$ и $S=0.$

[finn_parnichka2]

Cos(x-pi/2)
Спасибо за ответ, но Вы, вероятно, неправильно меня поняли или ,может быть, я неправильно сформулировал вопрос.
Я хотел узнать, как проверить для такой волновой функции, что полный спин равен 1.
Вопрос оказался глупый и ответ на него тривиальный: подействовать оператором суммарного спина и убедиться, что полный спин (собственное значение) равен единице, в противоположность синглету, для которого получится ноль.

[chislo_avogadro]

finn_parnichka2 в сообщении #1620398 писал(а):

полный спин (собственное значение) равен единице, в противоположность синглету, для которого получится ноль.

Полный спин ноль, но собственное значение минус единица. Такое же собственное значение как и для вашей функции, если оператор $\mathbf{\sigma^1_z\sigma^2_z}$. А для операторов $\mathbf{\sigma^1_x\sigma^2_x}$ или $\sigma^1_y\sigma^2_y$ да, плюс единица, спины однонаправлены. Ещё проще сделать в $\Psi_1_2$ подстановку $|\uparrow> = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(|\rightarrow>+ |\leftarrow>\right)$ и.т.д.

[Cos(x-pi/2)]

finn_parnichka2

Да, я не понял Ваш вопрос; подумал, будто требуется в общих чертах рассказать всё основное про мультиплеты состояний с определённым моментом импульса $J$, и применить эти сведения к случаю $J=S=1.$

finn_parnichka2 в сообщении #1620398 писал(а):

Вопрос оказался глупый и ответ на него тривиальный: подействовать оператором суммарного спина и убедиться, что полный спин (собственное значение) равен единице, в противоположность синглету, для которого получится ноль.

Нет, вопрос не глупый. И ответ, если действовать нужным оператором, не очевидный без вычислений. Ответ тривиальный только вот такой: если Вы уже уверены, что речь идёт о спиновом триплете, т.е. о трёх базисных состояниях, то спин $S$ определяется из равенства числа состояний в этом мультиплете числу $2S+1$ (это число есть количество значений $S_z$ в списке $S_z=S,\,S-1,\,...\,,-S_z).$ Из равенства $2S+1=3$ следует ответ: $S=1.$

Чтобы проверить этот ответ, надо действовать не "оператором суммарного спина": такой оператор ведь векторный, и у него нет собственных состояний и собственных значений (кроме синглета со спином ноль), потому что операторы проекций спина, имеющиеся в этом векторном операторе, не коммутируют друг с другом.

Действовать надо оператором квадарата суммарного спина $\hat {\mathbf{S}}^2=\hat {\mathbf{S}}\cdot \hat {\mathbf{S}}.$ Векторы обозначаю жирными буквами, точка - скалярное произведение, суммарный спин обозначаю большой буквой, одночастичные спины - маленькими буквами с номером частицы. С обозначениями обращаться будем аккуратно, чтобы не запутаться :)

Про оператор квадрата момента импульса известно из общей теории, что все члены мультиплета с моментом $J$ являются для квадрата момента собственными состояниями с одним и тем же собственным значением $J(J+1).$ Т.е. в спиновом мультиплете со спином $S$ собственное значение квадрата спина должно быть равно $S(S+1).$ Для частицы со спином $s=1/2$ собственное значение квадрата спина равно $s(s+1)=3/4.$

Вычисление получается довольно длинное, так что в этом смысле оно не совсем уж тривиальное. Одночастичные операторы с разными номерами частиц здесь коммутативны, поэтому, раскрыв скобки, можно привести подобные члены, получив тем самым слагаемое $2\hat {\mathbf{s}}_1\cdot \hat {\mathbf{s}}_2:$

$$\hat{\mathbf{S}}^2=(\hat{\mathbf{s}}_1+\hat{\mathbf{s}}_2)^2=\hat{\mathbf{s}}_1^2+\hat{\mathbf{s}}_2^2 + 2\hat {\mathbf{s}}_1\cdot \hat {\mathbf{s}}_2$$

При действии на $\Psi_{12}$ каждый одночастичный оператор действует на одночастичное состояние-сомножитель только со своим номером, а состояние с чужим номером не изменяется. Таким образом имеем:

$$\hat{\mathbf{s}}_1^2\,\Psi_{12}=\frac{3}{4}\Psi_{12},\qquad \hat{\mathbf{s}}_2^2\,\Psi_{12}=\frac{3}{4}\Psi_{12}$$

и осталось рассмотреть результат действия оператора

$$2\hat {\mathbf{s}}_1\cdot \hat {\mathbf{s}}_2=\frac{1}{2}(\hat{\sigma}_{x1}\hat{\sigma}_{x2}+\hat{\sigma}_{y1}\hat{\sigma}_{y2}+\hat{\sigma}_{z1}\hat{\sigma}_{z2})$$

Здесь $\hat{\sigma}_{xn},\,\hat{\sigma}_{yn},\, \hat{\sigma}_{zn}$ можно понимать как матрицы Паули, $n$ - номер частицы. Одночастичное состояние $\psi_n(\uparrow)$ - можно понимать как двухкомпонентный столбец с элементами $1$ и $0,$ состояние $\psi_n(\downarrow)$ - столбец с элементами $0$ и $1.$ Замечаем, что:

$$\hat{\sigma}_{xn}\psi_n(\uparrow)=\psi_n(\downarrow),\qquad \hat{\sigma}_{xn}\psi_n(\downarrow)=\psi_n(\uparrow)$$

$$\hat{\sigma}_{yn}\psi_n(\uparrow)=i\psi_n(\downarrow),\qquad \hat{\sigma}_{yn}\psi_n(\downarrow)=-i\psi_n(\uparrow)$$

$$\hat{\sigma}_{zn}\psi_n(\uparrow)=\psi_n(\uparrow),\qquad \hat{\sigma}_{zn}\psi_n(\downarrow)=-\psi_n(\downarrow)$$

С учетом этих равенств действуем оператором $2\hat {\mathbf{s}}_1\cdot \hat {\mathbf{s}}_2$ на $\Psi_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\, (\, \psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)+\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow)\,);$ сначала выписываю результат действия на первое слагаемое, затем на второе:

$$2\hat {\mathbf{s}}_1\cdot \hat {\mathbf{s}}_2\,\Psi_{12} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow)+\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow)-\psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)+$$

$$+\psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)+\psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)-\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow))=\frac{1}{2}\Psi_{12}$$

Итого:

$$\hat{\mathbf{S}}^2\,\Psi_{12}=\left ( \frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{1}{2} \right )\Psi_{12}\,=\,2\,\Psi_{12}$$

Таким образом, здесь $S(S+1)=2$ и, следовательно, $S=1.$ В этом и надо было убедиться.


Для синглета $\Phi_{12}=\frac{1}{\sqrt{2}}\, (\, \psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)-\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow)\,)$ аналогично получается

$$2\hat {\mathbf{s}}_1\cdot \hat {\mathbf{s}}_2\,\Phi_{12} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow)+\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow)-\psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)-$$

$$-\psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)-\psi_1(\uparrow)\psi_2(\downarrow)+\psi_1(\downarrow)\psi_2(\uparrow))\,=\,-\frac{3}{2}\,\Phi_{12}$$

Итого:

$$\hat{\mathbf{S}}^2\,\Phi_{12}=\left ( \frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{3}{2} \right )\,\Phi_{12}\,=\,0\,\Phi_{12}$$

Таким образом, здесь $S(S+1)=0$ и, следовательно, $S=0.$

[Cos(x-pi/2)]

Исправляю свою опечатку, в мультиплете с заданной величиной спина $S$ правильный список значений $S_z$ такой: $S_z=S,\,S-1,\,...\,,-S.$