Интересная задача

[dovlato]

Я взял за переменные модуль скорости $v=|\vec v|$, и угол $\alpha$ между текущим направлением скорости и направлением вниз вдоль плоскости.
Честно всё интегрировал. В частности, получилось для скорости ($v_0, \alpha_0$ - значения скорости и угла сразу после щелчка)

$$v(\alpha)=v_0 \left (\frac{\cos \frac{\alpha_0}2}{\cos \frac \alpha 2}\right)^2$$

Ясно, что при $t \rightarrow\infty$ необходимо $\alpha \rightarrow 0$, и в пределе получим $v(0)= v_0 (\cos\frac{\alpha_0}2)^2$.
И действительно, при $\alpha_0=\frac{\pi}2$ будем иметь $\frac {v_0} 2 $. А вообще, поскольку можно переписать выражение для предельной корости как

$$v(0)=\frac{v_0}2\left(1+\cos\alpha_0\right)$$

то годограф этих скоростей лежит на классической кривой (забыл её название).

[Morkonwen]

word в сообщении #225227 писал(а):

тем более, что сама задача слишком тривиальна и может быть интересна только на школьном уровне.

Не надо рассказывать. Задача отличная. Догадатся взять за одно из направлений касательную, а за другое ось "y" это еще надо догадатся.
А решая стандартными методами выходят страшные дифуры.

[TigerSWAT]

meduza в сообщении #225164 писал(а):

Угол (обозначу его $\varphi$) между начальной скоростью и "направлением спуска"

Изобразите на чертеже этот угол, пожалуйста. А то, если построить оси ОХ и Оr перпендикулярно друг другу, то, судя по описанию, там силы F и Fтр. не направлены противоположно друг другу, а под углом, меньшим 180 градусов. И там все странно получается...

В общем, пришлите, пожалуйста, рисунок.

[svv]

TigerSWAT
Пожалуйста, обратите внимание, что то сообщение было опубликовано 27 июня 2009 года, а его автор в последний раз что-то писал на форуме 22 сентября 2010 года.

Кстати, рисунок он опубликовал в тот же день в том же сообщении (был размещён на одном из хостингов изображений), но за 14 лет изображение было удалено с сервиса.

[TigerSWAT]

-- 05.11.2023, 14:02 --

svv

[ Извиняюсь за кривоватое оформление сообщения - мне очень не нравится интерфейс сайта, для меня он крайне неудобный (сразу видно, что его для программистов делали) ]

Я видел. Но бывают и случаи, когда человек вновь возвращается туда, где не был много лет (этот случай произошел со мной на другом сайте с этой же задачей). Поэтому все может быть.

Не знаю, с какой целью рисунок удалили (может, чтобы не забивать память сервиса, хотя, пара Кб сильно не навредят...). В любом случае, те, кто как-то поняли это словесное описание осей (хотя, по-моему, где-то автор этого решения опечатался, т.к. я, как ни пытаюсь построить его "словесный чертеж", ничего нормального не выходит), точно смогли чертеж этот построить. И, значит, на мой вопрос может ответить не только автор этого решения, но и те, кто его понял. Вот, и все.

[lel0lel]

TigerSWAT в сообщении #1616240 писал(а):

хотя, по-моему, где-то автор этого решения опечатался, т.к. я, как ни пытаюсь построить его "словесный чертеж", ничего нормального не выходит

Решение meduza
правильное и, к тому же, элегантное. Ось $x$ направлена вниз по плоскости.
Ось $\tau$ в каждый момент времени направлена по касательной к траектории, то есть направлена вдоль вектора скорости в данный момент времени. Закон Ньютона в проекции на $\tau$ позволяет получить тангенциальное ускорение. Угол $\varphi$ это угол между двумя осьми $x, \tau$. Он зависит от времени. Стационарному режиму соответствует $\varphi=0$. Если $\varphi(0)=\pi/2$, то шайбу толкнули горизонтально вправо, если смотреть снизу вверх по склону.

[TigerSWAT]

lel0lel

Меня волнует немного другое (решение-то красивое, с производными я и сам дальше догадался, что к чему). Но, вот, meduza пишет:

$x: m a_x=F_x-F_{\text{тр}}\cos\varphi=mg\sin\alpha (1-\cos\varphi)$
$\tau: m a_{\tau} = F_x\cos\varphi - F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha (\cos\alpha-1) = -m a_x$

Но КАКОГО на оси ОХ: Fтр. * cos ф, а на оси ОТ: Fx * cos ф ? ПОЧЕМУ СИЛА ТРЕНИЯ НЕ ПРЯМО ПРОТИВОПОЛОЖНА СИЛЕ ДВИЖЕНИЯ МОНЕТЫ? ПОЧЕМУ МЫ ВООБЩЕ ИСПОЛЬЗУЕМ УГОЛ АЛЬФА НА 2-Й ОСИ?

Я не кричу, я акцентирую внимание на основном вопросе (считайте, что это - как надпись на плакате).

[lel0lel]

TigerSWAT в сообщении #1618124 писал(а):

Но почему на ось О$x$: $-F_{\text{тр}}\cos \varphi$, а на ось О$\tau$: $F_x \cos \varphi$ ?

Угол между осьми равен $\varphi$, движение плоское под действием силы $F_x=mg \sin\alpha$ (это проекция силы тяжести, направленная вниз по плоскости) и силы трения $F_{\text{тр}}=\mu mg\cos\alpha=mg\sin\alpha=F_x$ (направлена против скорости, то есть, против оси $\tau$).

TigerSWAT в сообщении #1618124 писал(а):

Почему сила трения не противоположна силе движения монеты?

Сила трения скольжения направлена против скорости движения, то есть, против оси $\tau$.

TigerSWAT в сообщении #1618124 писал(а):

$\tau: m a_{\tau} = F_x\cos\varphi - F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha (\cos\alpha-1) = -m a_x$

В этом уравнении действительно закралась опечатка, должно быть так $\tau: m a_{\tau} = F_x\cos\varphi - F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha (\cos\varphi-1) = -m a_x$

[Ende]

TigerSWAT
Даже отдельные обозначения нужно оформлять как формулы. Не "на оси ОХ: Fтр. * cos ф, а на оси ОТ: Fx * cos ф", но "на ось $Ox$: $-F_{\text{тр}}\cos \varphi$, а на ось О$\tau$: $F_x \cos \varphi$" (Наведите указатель мыши на формулу, чтобы увидеть ее код). В следующий раз унесу Ваши сообщения в Карантин.

[TigerSWAT]

lel0lel

Блин, я-то до сих пор не вспоминал, что $\cos(\pi/2)$ $=$ 0 (в моей задаче сказано про то, что монету толкнули перпендикулярно движению ее по наклонной плоскости), и тогда все упростится в разы:

$Ox:$ $ m a_x $ $=$ $ F_x$
$O{\tau}:$ $ m a_{\tau}$ $=$ $-F_{\text{тр}}$ $=$ $-F_x$ И дальше - как по плану со всеми представлениями ускорения как
производной от скорости и др. ...

Про "СИЛА ТРЕНИЯ НЕ ПРОТИВОПОЛОЖНА СИЛЕ ДВИЖЕНИЯ" - извиняюсь, не совсем верно выразился: я имел ввиду, мол, почему сила трения не противоположна скорости и, соответственно, тангенциальному ускорению, со направленному с вектором скорости движения) Я-то знаю, что $F_{\text{тр}}$ противоположна $v_движ.$ тела, а вопрос возник из-за неверного представления чертежа (как я там только не крутил эту ось $O{\tau}$, на которую проецировал вектор скорости - лучше не рассказывать, чего я там творил...)

Про ошибку в оси проекции $O{\tau}$: это я раскусил еще в начале, а вопрос возник из-за представления $F_тр$ $=$ $\mu mg\sin\alpha$, где я думал, откуда взялся угол альфа, когда мы рассматриваем лишь угол фи... Но потом вспомнил, что мы же так имеем право делать, если рассматривать проекции на оси, как систему 2-х уравнений, и вопрос решился уже сам собой.

В общем, БОЛЬШОЕ СПАСИБО ЗА ПОМОЩЬ!

-- 16.11.2023, 15:08 --

Ende

Я повторю еще раз: мне очень неудобен интерфейс сайта, я не люблю программировать (хотя, вроде, это html-язык, но от этого мне не легче ни на грамм). Я, пока писал последнее сообщение, мог бы уже 100 моментов физики обсудить с физиками, не зацикленных на программировании, и которых не заставляют этого делать. Взяли листок, карандаш/ручку, и - вперед, решать, а не это все...

Поэтому, если хотите - отправляйте хоть в Карантин, хоть - на дачу, хоть - на Мальдивы. Мне уже все равно, т.к. мне не подходит ни интерфейс, ни правила этого сайта/форума. Я все ТЕБЕ сказал (подчеркну: ТЕБЕ, а не Вам - вот, насколько я не уважаю ни программирование, ни все, что с ним связано, если это надо сделать мне на практике).

[Ende]

TigerSWAT в сообщении #1618186 писал(а):

Поэтому, если хотите - отправляйте хоть в Карантин, хоть - на дачу, хоть - на Мальдивы. Мне уже все равно, т.к. мне не подходит ни интерфейс, ни правила этого сайта/форума. Я все ТЕБЕ сказал (подчеркну: ТЕБЕ, а не Вам - вот, насколько я не уважаю ни программирование, ни все, что с ним связано, если это надо сделать мне на практике).

Ну что ж, если мы Вам так не подходим, отдохните от нас недельку, а там посмотрим.

[lel0lel]

TigerSWAT в сообщении #1618186 писал(а):

я-то до сих пор не вспоминал, что $\cos(\pi/2)=0$ (в моей задаче сказано про то, что монету толкнули перпендикулярно движению ее по наклонной плоскости), и тогда все упростится в разы:
$Ox:$ $ m a_x $ $=$ $ F_x$
$O{\tau}:$ $ m a_{\tau}$ $=$ $-F_{\text{тр}}$ $=$ $-F_x$

Зря вспомнили, уравнения у вас записаны неверно. В них $\varphi$ это $\varphi(t)$ и, разумеется, его нельзя заменять на $\varphi(0)=\pi/2$.

(Оффтоп)

Впрочем, вы как-то очень странно реагируете на вполне лояльное отношение к вам модератора, тут и за меньшее темы убирали в карантин. Если через неделю будет желание разобраться с задачей, то пожалуйста, а пока можно потренироваться в написании формул в LaTeX. Знаки доллара в равенстве пишут только в начале и в конце формулы, каждый символ ими выделять не нужно, если это не уединённый символ внутри текста.

[TigerSWAT]

lel0lel, сами себе же противоречите: угол зависит от времени. Но в начальный момент времени угол равен 90 градусам => В ЭТОМ СЛУЧАЕ ЭТА ЗАПИСЬ ВЕРНА. Однако, для дальнейшей работы с траекторией тела и расчетом его скорости и ускорения такой метод не подходит, да.

-- 24.11.2023, 22:05 --

Пфф, забанили меня... Напугали)

Кстати, Ende, а чем вызвана такая политика сайта, что, мол, хочешь-не хочешь, а надо программировать? Я не хочу обвинять кого-то в каких-то личных или других неприязнях к чему-то.

Если это - секрет, то - ок. Найду другой способ обхода этой системы, если еще раз на этот сайт попаду.

[lel0lel]

TigerSWAT
Вы в сообщении, к которому относилось моё замечание подразумевали работу с этими законами для произвольного момента времени, иначе как объяснить эту фразу

TigerSWAT в сообщении #1618186 писал(а):

дальше - как по плану со всеми представлениями ускорения как
производной от скорости и др

Из уравнений верных только для начального момента времени, нельзя строить столь далекоидущие планы.

(Оффтоп)

То, что вам не нравится -- это практически не программирование, учитывая, что при редактировании сообщения имеется LaTeX помощник. Обратите на него внимание, и набор формул будет занимать меньше времени

[TigerSWAT]

lel0lel, ну, по сути, это мое "упрощение" было, так сказать, мимолетным увлечением, для более простого представления общей картины. В принципе, это можно было и не писать, т.к. это, повторюсь, в большей части, я написал сам для себя, для чуть более понятной ситуации. И все.