2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Интересная задача
Сообщение27.06.2009, 18:46 


27/06/09
33
Я в интернете увидел одну задачку. Сама ее формулировка (если можно так сказать) ставит в тупик, т.к. ответ кажется очевидным. Но все не так просто. :twisted:
Задача. На плоскости лежит монета; тангенс угла наклона плоскости к горизонту ${\tg} ({\alpha})$ равен коэффициенту трения $\mu$ между ней и монетой. В горизональном направлении монете сообщили начальную скорость $v$ (вдоль по плоскости). Определить установившуюся скорость $u$ монеты.
И какой бы, вы думали, получается ответ? Ответ: $u=v/2$. Насколько я понял, существует несколько различных способов его получения. Хотелось бы знать, каким воспользуетесь вы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение27.06.2009, 19:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
IAmI в сообщении #225141 писал(а):
Ответ: $u=v/2$.

Крайне странный ответ. Если установившаяся скорость не равна ни нулю, ни бесконечности, то это означает, что сила трения в точности равна скатывающей. Но тогда и начальная скорость не изменится.

Есть подозрение, что Вы крайне неаккуратно сформулировали условие (и можно даже попытаться догадаться, в какую именно сторону неаккуратно, но -- лень).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение27.06.2009, 19:31 


20/03/09

140
Вообще-то тут и догадываться нечего, в задаче возможно множество ответов, не все данные есть в условии. Если коэффициент трения скольжения отличается от трения покоя, а в абсолютном большинстве случаев это именно так, то ответы типа v или v/2 совершенно не очевидны. А если учесть, что в действительности как правило трение скольжения является еще и функцией скорости, причем, опять же как правило, не линейной, на что по умолчанию и намекает автор, то тогда задача становится действительно интересной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение27.06.2009, 19:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ну я-то вообще-то говоря имел в виду совершенно другое -- что автор явно имел в виду (но постеснялся оговорить) толчок вверх.

Впрочем, тогда (меланхолически) установившаяся скорость будет равна явно нулю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение27.06.2009, 20:06 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Не знаю, я тут посчитал и вроде бы получается в точности ноль (разумеется, принимая на веру, что коэффициент трения скольжения равен коэффициенту трения покоя и является константой: $\mu=const$):
Направим ось $Ox$ в горизонтальном направлении, вдоль плоскости (в этом направлении монете сообщается первоначальная скорость), ось $Oy$ - вниз, вдоль плоскости (перпендикулярно $Ox$). Угол между вектором скорости в текущий момент времени и осью $Ox$ обозначим $\phi$. Из условия получаем, что $N=mg\cos\alpha$, $\mu N=mg\sin\alpha$ ($N$ - сила реакции опоры, $m$ - масса шайбы), так как $\tg\alpha=\mu$. Тогда в каждый момент времени:
-проекции ускорения на оси координат
$a_x=-\frac{\mu N\cos\phi}{m}=-g\sin\alpha\cos\phi=-\tilde a\cos\phi$ ($\tilde a=g\sin\alpha$)
$a_y=\frac{mg\sin\alpha-\mu N\sin\phi}{m}=\tilde a(1-\sin\phi)$
-проекции скорости на оси координат ($u$ - модуль скорости в данный момент)
$u_x=u\cos\phi=v+a_x t=v-\tilde a t\cos\phi$
$u_y=u\sin\phi=a_y t=\tilde a t(1-\sin\phi)$
Отсюда:
$\cos\phi=\frac{v}{u+\tilde a t}$
$\sin\phi=\frac{\tilde a t}{u+\tilde a t}$
Из основного тригонометрического тождества получаем:
$u+\tilde a t=\sqrt{v^2+(\tilde a t)^2}$
$u(t)=\sqrt{v^2+(\tilde a t)^2}-\tilde a t$
$\lim\limits_{t\to\infty}u(t)=0$
Может быть, я просто неправильно понял условие...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение27.06.2009, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
IAmI в сообщении #225141 писал(а):
В горизональном направлении монете сообщили начальную скорость $v$ (вдоль по плоскости).

Что значит "вдоль плоскости"? Угол (обозначу его $\varphi$) между начальной скоростью и "направлением спуска" на многое влияет: если он равен $\pi/2$ (монету толкнули перпендикулярно направлению спуска) - то установившаяся скорость будет $v/2$ (видимо это ваш случай, судя по приведенному ответу, я его ниже рассмотрю), если же $\varphi=0$ (скорость придали в направлении спуска), то $u=v$.

Щас набиру решение и отошлю, заодно рисунок простой нарисую...

-- Сб июн 27, 2009 21:57:18 --

Решение для $\varphi=\frac{\pi}2$, только в этом случае установившаяся скорость будет $v/2$.

Изображение
Проекция силы тяжести на ось x (т. е. на направление спуска) $F_x=mg\sin\alpha$. Сила трения $F_{\text{тр}}=\mu mg\cos\alpha=mg\sin\alpha=F_x$; направлена она всегда противоположно скорости. Выберем еще одну ось $\tau$, по касательной к скорости. Запишем 2-й закон Ньютона в проекции на $x$ и $\tau$:
$x: m a_x=F_x-F_{\text{тр}}\cos\varphi=mg\sin\alpha (1-\cos\varphi)$
$\tau: m a_{\tau} = F_x\cos\varphi - F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha (\cos\alpha-1) = -m a_x$
Если сократить на массу, получим $a_{\tau}=-a_x \Rightarrow \dfrac{d v_{\tau}}{dt}=-\dfrac{d v_x}{dt} \Rightarrow v_{\tau}=-v_x+C$. Заменим $v_{\tau} \equiv v$ и $v_x=v\cos\varphi$. Константу найдем из начальных условий $v(\varphi=\frac{\pi}2)=v$: $v=-v\cdot 0 + C \Rightarrow C=v$. Т. е. $v(\varphi)=-v(\varphi)\cos\varphi+v \Leftrightarrow v(\varphi)=\frac{v}{1+\cos\varphi}$. Установившаяся скорость будет при $\varphi=0$ (направление скорости будет совпадать с $x$), т. е. $u\equiv v(0)=v/2$.

-- Сб июн 27, 2009 22:09:30 --

Если учитывать начальное условие $v(\varphi=0)=v$, т. е. монетку толкнули в направлении спуска, то получим $C=0,\ \ u=v$. При других углах тоже самое -- отличие только с места, где идет подстановка нач. условий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение27.06.2009, 21:59 


20/03/09

140
Ну вот, как и ожидалось, незаявленные в условии аргументы вылезают наружу. В данном случае незаявленным аргументом является угол между "направлением спуска" (авторское обозначение) и вектором начального толчка (стартовой скорости). Обозначение "В горизональном направлении" в сочетании "(вдоль по плоскости)" можно трактовать как угодно, в том числе и по ewert. Обычно "вдоль по (наклонной) плоскости" обозначается имеено "направление спуска". Имеем пример намерено некорректно поставленной задачи.
Не красиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение28.06.2009, 06:20 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
Я эту задачу помню, имеется в виду именно горизонтальная начальная скорость $\varphi=\frac{\pi}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение28.06.2009, 08:15 


20/03/09

140
и я встречал, потому ничего не возражал против v/2 и акцентировался исключительно на множественности решений, считая неудобным приводить у кого-то списанный ответ, тем более, что сама задача слишком тривиальна и может быть интересна только на школьном уровне. Мои претензии касаются исключительно ее авторской формулировки. Кстати, среди множества опубликованных в Е-нете модификаций решение, предложенное ewert, одно из редчайших.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение28.06.2009, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
P. S. Общая формула для $u$, в зависимости от $\varphi_0$:
Продолжу с места $v=-v\cos\varphi+C \Leftrightarrow v(\varphi)=\frac{C}{1+\cos\varphi}$. Из нач. условий $v(\varphi_0)=v_0:\ C=v_0(1+\cos\varphi)$. Установившаяся скорость $u=\lim\limits_{\varphi \to 0}v(\varphi)=\frac{v_0}2 (1+\cos\varphi_0)$. Частные случаи:
$\varphi_0=0:\ u=v_0$
$\varphi_0=\frac{\pi}2:\ u=\frac{v_0}2$
$\varphi_0=\pi:\ u=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение28.06.2009, 12:59 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Да, что-то я вчера на ночь глядя совсем не то понаписал... И еще меня так удивило, что получилось не ДУ, а простое уравнение :oops:.
meduza
Здорово! Интересное решение к интересной задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение28.06.2009, 19:01 


27/06/09
33
Спасибо. В общем-то я решал немножко по другому, и у меня выходило $u=v/2$ для произвольного угла. Но, возможно, я где-то ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение28.06.2009, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
IAmI в сообщении #225314 писал(а):
Спасибо. В общем-то я решал немножко по другому, и у меня выходило $u=v/2$ для произвольного угла. Но, возможно, я где-то ошибся.

Угол $\varphi$ влияет, безусловно. Возьмем самый простой случай - монету толкнули в направлении спуска ($\varphi=0$): из 2-го з-на Ньютона можно найти, что ускорение монеты будет 0, а значит и начальная скорость не должна изменится и останется $v$. Если же толкнуть монету под углом, отличным от нуля, то $\overrightarrow F_{\text{тр}}$ и $\overrightarrow F_{\text{тяж}}$ сначала не будут уравновешивать друг друга и будут снижать скорость (а также изменять ее направление, уменьшая $\varphi$) -- так будет продолжаться до тех пор, пока $\varphi$ не сравняется с 0, далее скорость меняться не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение28.06.2009, 20:26 


27/06/09
33
А, я сейчас только понял! Я, представляете, не задумываясь, решал для угла Пи пополам, и думал, что решаю для любого угла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение02.07.2009, 16:43 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
 !  смените заголовок на информативный, отражающий содержание задачи

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group