Найти интеграл через пoляpные кoopдинaты.

[reformator]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1619242 писал(а):

$2 \sqrt{3}+2-\frac{1}{2} \sqrt{3} \log (3)-3 \log (3)+\log (27)-\sqrt{3} \log \left(\sqrt{3}+2\right)\approx 2.23164$

Что-то у меня пошло не так, так как этот интеграл
$\displaystyle\iint_D\mu(x,y)dxdy = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}d\varphi \displaystyle \int_{\frac{2\sqrt{3}}{\sin\varphi +\sqrt{3}\cos\varphi}}^{2\cos\varphi}r\cdot \dfrac{1}{r}\;dr\approx -0,500413$ с помощью калькулятора проверил. Видимо все-таки он составлен неверно. Что-то я уже даже немного отчаялся, что ничего не понимаю.

svv в сообщении #1619275 писал(а):

Ну, Вам же показалось, что полярные координаты не совсем полноценны, если их центр не совпадает с центром декартовых. А центр декартовых разве обязан быть в строго определённой точке (скажем, где-то в Китае, если речь о физическом евклидовом пространстве)? Почему нельзя ввести 25 систем декартовых координат, отличающихся сдвигами (и поворотами)? С какой из них будет правильно связывать полярную систему?

Если трудно сразу перейти к полярной системе с центром в произвольной точке $A$, не совпадающей с началом декартовых координат $O$, выполните этот переход в два шага, введя ещё одну декартову систему с началом в $A$.

А, теперь понял. Спасибо) Перешел. Только переход к полярной со сдвигом на 2 по оси абсцисс немного испортил функцию $\mu(x,y)$, теперь $\mu(r, \varphi ) = \dfrac{1}{\sqrt{(r\cos \varphi -2)^2+r^2\sin^2 \varphi }}$. Якобиан при таком переходе $r$. Может быть я неверно реализовал сдвиг?

$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}}\;d\varphi\displaystyle\int_0^2\dfrac{rdr}{\sqrt{(r\cos \varphi -2)^2+r^2\sin^2\varphi}}$

-- 22.11.2023, 23:31 --

revos в сообщении #1619335 писал(а):

Ляп во второй строчке.
$(x-2)^2+y^2\leqslant 4$ переписывается в виде $r^2-2r\cos\varphi\leqslant 0$ или $r\leqslant 2\cos\varphi$

Спасибо, это понял. $r\leqslant 4\cos\varphi$

-- 22.11.2023, 23:35 --

Исправил ошибку, теперь все совпало! Ура! Ура! Ура!
$\displaystyle\iint_D\mu(x,y)dxdy = \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}d\varphi \displaystyle \int_{\frac{2\sqrt{3}}{\sin\varphi +\sqrt{3}\cos\varphi}}^{4\cos\varphi}r\cdot \dfrac{1}{r}\;dr\approx 2,23164$

Спасибо всем за помощь Правда все же любопытно, верно ли я реализовал сдвиг.

[revos]

reformator
Написали бы правильно верхний предел, и никакая возня со сдвигом не нужна.

[reformator]

revos в сообщении #1619339 писал(а):

reformator
Написали бы правильно верхний предел, и никакая возня со сдвигом не нужна.

Понял, спасибо, а $4\cos\varphi$ - это же верно, так ведь?)

[Combat Zone]

reformator в сообщении #1619336 писал(а):

Правда все же любопытно, верно ли я реализовал сдвиг.

Плюс двойка по иксам сдвиг.
И да, тут сдвиг, как видно, оказался не работающим. А была бы функция другая, например, $\mu=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$ - вам бы наоборот, без сдвига не жилось. В общем, везде свое.

reformator в сообщении #1619340 писал(а):

$4\cos\varphi$ - это же верно, так ведь?

верно. Вы ж сверяться собирались )

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619344 писал(а):

верно. Вы ж сверяться собирались )

Я сверился с этим вычислением, совпало. Но вдруг там что-то не так

Markiyan Hirnyk в сообщении #1619242 писал(а):

Такие вычисления механизированы в новых версиях Математики:
Код:

reg = ImplicitRegion[(x - 2)^2 + y^2 <= 4 && y >= Sqrt[3]*(2 - x), {x, y}];
Integrate[1/Sqrt[x^2 + y^2], {x, y} \[Element] reg]


$2 \sqrt{3}+2-\frac{1}{2} \sqrt{3} \log (3)-3 \log (3)+\log (27)-\sqrt{3} \log \left(\sqrt{3}+2\right)\approx 2.23164$