2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 15:33 


10/09/14
171
Цитата:
Нужно найти с помощью двойного интеграла объем тела, которое ограничивают поверхности

Одним двойным не обойтись. Плоскости образуют наклонную пирамиду.
Нужно брать разность двойных интегралов. Можно одним тройным.
Эта картинка понятней.
https://ibb.co/D1TdDcF

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 15:40 
Аватара пользователя


22/11/22
621
redicka
Обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 15:48 


10/09/14
171
Цитата:
Combat Zone

Цитата:
redicka
Обойтись.

Ну, и как ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 15:53 
Аватара пользователя


22/11/22
621
И ключи от квартиры? )
Порядки интегрирования разные бывают. Пусть ТС попробует сперва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 16:54 


11/12/11
150
Combat Zone в сообщении #1619096 писал(а):
И ключи от квартиры? )
Порядки интегрирования разные бывают. Пусть ТС попробует сперва.

Спасибо. Получилось вот так на все 3 координатные плоскости.
Изображение
Изображение
Изображение[/url]
Но не очень понятно - как это может помочь.

-- 21.11.2023, 16:54 --

redicka в сообщении #1619087 писал(а):
Эта картинка понятней. https://ibb.co/D1TdDcF

К сожалению, на этой картинке также ничего не могу увидеть :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 17:20 


10/09/14
171
Цитата:
К сожалению, на этой картинке также ничего не могу увидеть

Хм, а что Вы, собственно, хотите увидеть на картинке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10909
Crna Gora
reformator
Раз Вы нарисовали нужную область, значит, знаете, как правильно расставить знаки в неравенствах:
$\begin{array}{l}z\;>\;8-4x\\z\;<\;8-2x-2y\\z\;>\;0\\y\;>\;0\end{array}$
(Я собирался рассказать Вам, как автоматизировать поиск ограниченной области, но Вы нашли её раньше.)

Ваша средняя картинка выглядит самой простой. Ей соответствует выбор переменных $z,y$ в качестве внешних в тройном (повторном) интеграле. Итак, $z>0, y>0$. Далее пределы интегрирования по $z,y$ уточнятся (почти что) сами собой :-) . Для этого перепишите первые два неравенства в виде $x>...,\;x<...$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 17:41 


11/12/11
150
svv в сообщении #1619116 писал(а):
Раз Вы нарисовали нужную область, значит, знаете, как правильно расставить знаки в неравенствах:
$\begin{array}{l}z\;>\;8-4x\\z\;<\;8-2x-2y\\z\;>\;0\\y\;>\;0\end{array}$

Спасибо. Можно ли так?

$V=\int_2^4dx\int_0^{4-x}dy\int_{8-4x}^{8-2x-2y}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 18:00 
Аватара пользователя


22/11/22
621
У вас потерялась третья переменная ) насовсем. А так все хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 18:06 


10/09/14
171
Цитата:
redicka
Обойтись.

Да, можно обойтись одним двойным т.к. нам дано, что y=0.
Кстати, ответ 16/3 получен с помощью одного двойного интеграла.
Можно и без интегрирования. Объем пирамиды равен (1/3)*((2*2)/2)*8=16/3

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 22:57 


11/12/11
150
Combat Zone в сообщении #1619127 писал(а):
У вас потерялась третья переменная ) насовсем. А так все хорошо.

Спасибо большое! У меня получилось так

$V=\int_2^4dx\int_0^{4-x}dy\int_{8-4x}^{8-2x-2y}dz=8$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 23:27 
Аватара пользователя


22/11/22
621
Combat Zone в сообщении #1619127 писал(а):
А так все хорошо.

Нет, это уже моя невнимательность. Ну и ваша тоже. )
Все плохо.

Если мы будем так развешивать пределы интегрирования, то выйдет не наша область.
Чтобы в этом убедиться, достаточно увидеть, что проекция на плоскость (x,y) не совпадает с настоящей проекцией.
Внимание: проекция и сечение координатной плоскостью штуки разные, на этом многие ловятся.

А ответ redicka, полученный элементарными методами, конечно, правильный. На него и ориентируйтесь.

Итого: заново расставляем пределы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение21.11.2023, 23:57 


11/12/11
150
Combat Zone в сообщении #1619197 писал(а):
Итого: заново расставляем пределы.

Спасибо. Там как-то должно появится $y=x$ еще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.
Сообщение22.11.2023, 00:08 
Аватара пользователя


22/11/22
621
reformator
Если вы упорно хотите сохранить тот же порядок интегрирования, то да, придется разбивать как-то.
Можно еще посозерцать картинку. Вдруг не так упорно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group