Объем тела, ограниченного поверхностями.

[reformator]

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, запутался.

Нужно найти с помощью двойного интеграла объем тела, которое ограничивают поверхности $z=8-2x$, $z=8-2x-2y$, $z=0$, $y=0$.

Можно ли сделать так? $8-2x=8-2x-2y$, значит получаем $x=y$. Также $8-2x=0$, тогда $x=4$

$V = \int_{0}^{4} \int_{0}^{x} (8-2x-2y - (8-2x) ) \,dy\,dx$

Обязательна ли в такой задаче картинка? Верно ли я составил интеграл?

[Combat Zone]

reformator в сообщении #1619001 писал(а):

Верно ли я составил интеграл?

Ну, если отрицательные объемы вас не напрягают, то норм.
Лучше рисовать. Хотя бы эскиз. Хотя бы прикидывать, кто левее, кто правее, кто выше, кто ниже.

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619004 писал(а):

Ну, если отрицательные объемы вас не напрягают, то норм.
Лучше рисовать. Хотя бы эскиз. Хотя бы прикидывать, кто левее, кто правее, кто выше, кто ниже.

Спасибо, понял. А можно ли просто считать модуль интеграла ли? $V = \left|\int_{0}^{4} \int_{0}^{x} (8-2x-2y - (8-2x) ) \,dy\,dx\right|$. В остальном нет ли ошибок? Я в пытался в графической программе покрутить, но ни в какой проекции нормально не удалось что-то толкового увидеть.

[svv]

reformator в сообщении #1619001 писал(а):

$8-2x=8-2x-2y$, значит получаем $x=y$

[Combat Zone]

reformator в сообщении #1619006 писал(а):

Спасибо, понял. А можно ли просто считать модуль интеграла ли?

reformator в сообщении #1619006 писал(а):

В остальном нет ли ошибок?

Вот говорят, есть. А потом. Ну хорошо. Где-то у вас кусок проинтегрированного будет -4 и схлопнется с другим куском, равным 3. А вы его тут - хлоп, и по модулю. А при нормальной жизни было бы что-то другое.

Уж на что я не люблю рисовать, но... Рисуйте, в общем. Куда вы проектируете?

[reformator]

svv в сообщении #1619007 писал(а):

Спасибо, я кажется затупил, в условии было $z=8-4x$, извините, пожалуйста. Но я как раз именно эту плоскость и строил, потому у меня и получилось $y=x$. То есть я как раз решал задачу с правильной формулировкой, но при перепечатывании условия ошибся.

Вот правильное условие:

Найти с помощью двойного интеграла объем тела, которое ограничивают поверхности $z=8-4x$, $z=8-2x-2y$, $z=0$, $y=0$.

-- 21.11.2023, 03:24 --

Combat Zone в сообщении #1619008 писал(а):

Уж на что я не люблю рисовать, но... Рисуйте, в общем. Куда вы проектируете?

Лучший ракурс был такой, насколько я вижу. Но и здесь - плохо видно. На плоскости $z=0, x=0, y=0$ пытался еще проекцию делать.

[svv]

Combat Zone в сообщении #1619008 писал(а):

А вы его тут - хлоп, и по модулю.

Ага. Я бы сравнил добавление того модуля с отключением сигнализации, которая могла бы предупредить хотя бы о некоторых аварийных ситуациях.

[Combat Zone]

4 плоскости. Условно предположим, что вам повезло. (Позже убедимся). Как они пересекутся? Что образуется при пересечении?
И смотрите по очереди пересечение каждой с координатными плоскостями, наиболее удобными.

[svv]

reformator

(Это вам никак не поможет)

Если точка лежит на какой-то плоскости, подстановка её координат в уравнение плоскости даст верное равенство. Если не лежит, то левая часть уравнения будет либо больше, либо меньше правой. Все точки, для которых левая часть получилась больше правой, лежат по одну сторону плоскости, меньше — по другую.

Возьмём точку пространства с координатами $x,y,z$, не лежащую ни на одной из четырёх Ваших плоскостей. Вместо каждого знака вопроса здесь
$\begin{array}{l}z\;?\;8-4x\\z\;?\;8-2x-2y\\z\;?\;0\\y\;?\;0\end{array}$
выберем либо $>$, либо $<$, чтобы получились верные неравенства. Какие знаки нужно взять — зависит от точки. Например, для точки $x=y=z=3$ нужно взять знаки $<,<,>,>$. Каждая полученная таким образом комбинация знаков соответствует одной из областей, на которые Ваши плоскости разбивают пространство.

Четырём знакам вопроса соответствует 16 комбинаций знаков $>,<$, но на самом деле четыре произвольные плоскости могут разбить пространство самое большее на 15 областей. В нашем случае как раз реализуется этот максимум. Одна из комбинаций невозможна:
$\begin{array}{l}z\;<\;8-4x\\z\;>\;8-2x-2y\\z\;<\;0\\y\;<\;0\end{array}$
Несовместность этой системы легко доказывается.

Из "существующих" же 15 областей 14 являются неограниченными. У них бесконечный объём (вообще-то, у неограниченных областей бывает и конечный объём, но это не наш случай). И только одна из 15 — ограниченная. Её объём и надо найти. Если Вы сможете правильно указать комбинацию знаков $>,<$, которой эта область задаётся (хотя бы и с помощью рисунка) — считайте, полдела сделали.

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619012 писал(а):

4 плоскости. Условно предположим, что вам повезло. (Позже убедимся). Как они пересекутся? Что образуется при пересечении?
И смотрите по очереди пересечение каждой с координатными плоскостями, наиболее удобными.

Рассмотрел, мне кажется в координатной плоскости $xOy$ самая полезная информация. Вроде бы эта область должна получится. Но это не учтено $y=x$,но по 3D рисунку кажется, что это ограничение не особо здесь помогает.

[Combat Zone]

reformator
вот эта прямая, которая от четверки к четверки идет - она откуда берется?

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619058 писал(а):

reformator
вот эта прямая, которая от четверки к четверки идет - она откуда берется?

Как пересечение плоскостей $z=8-2x-2y$ и $z=0$. Получаем $8-2x-2y=0$, $x+y=4$, тогда $y=4-x$

-- 21.11.2023, 14:24 --

svv в сообщении #1619017 писал(а):

reformator
(Это вам никак не поможет)

Спасибо за идею. Чую, что я от безысходности начну проверять все 15 вариантов. С пространственным воображением у меня все-таки проблемы есть, судя по этому заданию, ибо мозг плавится в попытках представить область, ограниченную этими 4 плоскостями.

[Combat Zone]

Хорошо, пусть. Это была $z=0$. Еще с какой-то координатной плоскостью пересеките. Посмотрите, что получится. Пока мало информации.
(кому как, лично я прямые предпочитаю в таких случаях сразу в $\mathbb R^3$ строить, но вы можете поступать, как нравится.)

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619065 писал(а):

Хорошо, пусть. Это была $z=0$. Еще с какой-то координатной плоскостью пересеките. Посмотрите, что получится. Пока мало информации.
(кому как, лично я прямые предпочитаю в таких случаях сразу в $\mathbb R^3$ строить, но вы можете поступать, как нравится.)

В 3D уже рисовал в программе.



Наверное вот так будет информативнее.


Вроде бы я даже примерно вижу - нужную область. Только вот что с этим осознанием делать. Вроде синяя плоскость находится ниже желтой почти везде, но есть еще участок, где нижней будет просто $z=0$. То есть вроде бы здесь должна организоваться сумма интегралов. Я понимаю, что из верхней плоскости нужно отнимать нижнюю.

Условие:

Цитата:

Нужно найти с помощью двойного интеграла объем тела, которое ограничивают поверхности $z=8-4x$, $z=8-2x-2y$, $z=0$, $y=0$.

Можно ли сделать так?

$V = \iint_{D_1} (8-2x-2y-(8-4x))dxdy + \iint_{D_2} (8-2x-2y-0)dxdy $

[Combat Zone]

reformator в сообщении #1619074 писал(а):

Только вот что с этим осознанием делать. Вроде синяя плоскость находится ниже желтой почти везде, но есть еще участок, где нижней будет просто $z=0$. То есть вроде бы здесь должна организоваться сумма интегралов. Я понимаю, что из верхней плоскости нужно отнимать нижнюю.

Что делать? Не спешить. Посмотреть на третью координатную плоскость. И попытаться сложить данные в трехмерную картинку. Должно получаться.