Объем тела, ограниченного поверхностями.

[redicka]

Цитата:

Нужно найти с помощью двойного интеграла объем тела, которое ограничивают поверхности

Одним двойным не обойтись. Плоскости образуют наклонную пирамиду.
Нужно брать разность двойных интегралов. Можно одним тройным.
Эта картинка понятней.
https://ibb.co/D1TdDcF

[Combat Zone]

redicka
Обойтись.

[redicka]

Цитата:

Combat Zone

Цитата:

redicka
Обойтись.

Ну, и как ?

[Combat Zone]

И ключи от квартиры? )
Порядки интегрирования разные бывают. Пусть ТС попробует сперва.

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619096 писал(а):

И ключи от квартиры? )
Порядки интегрирования разные бывают. Пусть ТС попробует сперва.

Спасибо. Получилось вот так на все 3 координатные плоскости.


[/url]
Но не очень понятно - как это может помочь.

-- 21.11.2023, 16:54 --

redicka в сообщении #1619087 писал(а):

Эта картинка понятней. https://ibb.co/D1TdDcF

К сожалению, на этой картинке также ничего не могу увидеть

[redicka]

Цитата:

К сожалению, на этой картинке также ничего не могу увидеть

Хм, а что Вы, собственно, хотите увидеть на картинке?

[svv]

reformator
Раз Вы нарисовали нужную область, значит, знаете, как правильно расставить знаки в неравенствах:
$\begin{array}{l}z\;>\;8-4x\\z\;<\;8-2x-2y\\z\;>\;0\\y\;>\;0\end{array}$
(Я собирался рассказать Вам, как автоматизировать поиск ограниченной области, но Вы нашли её раньше.)

Ваша средняя картинка выглядит самой простой. Ей соответствует выбор переменных $z,y$ в качестве внешних в тройном (повторном) интеграле. Итак, $z>0, y>0$. Далее пределы интегрирования по $z,y$ уточнятся (почти что) сами собой . Для этого перепишите первые два неравенства в виде $x>...,\;x<...$.

[reformator]

svv в сообщении #1619116 писал(а):

Раз Вы нарисовали нужную область, значит, знаете, как правильно расставить знаки в неравенствах:
$\begin{array}{l}z\;>\;8-4x\\z\;<\;8-2x-2y\\z\;>\;0\\y\;>\;0\end{array}$

Спасибо. Можно ли так?

$V=\int_2^4dx\int_0^{4-x}dy\int_{8-4x}^{8-2x-2y}$

[Combat Zone]

У вас потерялась третья переменная ) насовсем. А так все хорошо.

[redicka]

Цитата:

redicka
Обойтись.

Да, можно обойтись одним двойным т.к. нам дано, что y=0.
Кстати, ответ 16/3 получен с помощью одного двойного интеграла.
Можно и без интегрирования. Объем пирамиды равен (1/3)*((2*2)/2)*8=16/3

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619127 писал(а):

У вас потерялась третья переменная ) насовсем. А так все хорошо.

Спасибо большое! У меня получилось так

$V=\int_2^4dx\int_0^{4-x}dy\int_{8-4x}^{8-2x-2y}dz=8$

[Combat Zone]

Combat Zone в сообщении #1619127 писал(а):

А так все хорошо.

Нет, это уже моя невнимательность. Ну и ваша тоже. )
Все плохо.

Если мы будем так развешивать пределы интегрирования, то выйдет не наша область.
Чтобы в этом убедиться, достаточно увидеть, что проекция на плоскость (x,y) не совпадает с настоящей проекцией.
Внимание: проекция и сечение координатной плоскостью штуки разные, на этом многие ловятся.

А ответ redicka, полученный элементарными методами, конечно, правильный. На него и ориентируйтесь.

Итого: заново расставляем пределы.

[reformator]

Combat Zone в сообщении #1619197 писал(а):

Итого: заново расставляем пределы.

Спасибо. Там как-то должно появится $y=x$ еще?

[Combat Zone]

reformator
Если вы упорно хотите сохранить тот же порядок интегрирования, то да, придется разбивать как-то.
Можно еще посозерцать картинку. Вдруг не так упорно.