В
теме на AoPS Community была предложена такая задача: решить уравнение

в положительных целых числах.
Собственно, там и участник P2nisic предложил возможное решение:

При этом

и

взаимно-просты в
![$\mathbb Z[-\sqrt{2}].$ $\mathbb Z[-\sqrt{2}].$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/5/fa5098f6d5090411df6e2308f17c1a9782.png)
Действительно, если

то

но

а

очевидно нечетно, поэтому

Следовательно,

для целых

откуда

Из первого уравнения следует, что

значит

Для

имеем уравнение

которое не имеет решений.
Для

имеем

и

что дает
Таким образом, в положительных целых решений у исходного уравнения нет.
В той же теме
nnosipov предложил обобщение задачи: решить при

в положительных целых уравнение

Если с соответствующими поправками повторить рассуждения выше, можно получить

Формула бинома Ньютона дает

а также для

и его степеней дает длинное выражение, по которому не очевидно, как можно получить

и вообще, возможно ли это получить. Поэтому спрошу здесь: как получить в этом случае, если это возможно,

?