Уравнение $x^n = 2y^2 + 1$ в положительных целых числах

Mirage_Pick · 05/02/21 145

В теме на AoPS Community была предложена такая задача: решить уравнение $$x^3 = 2y^2 + 1$$

в положительных целых числах.

Собственно, там и участник P2nisic предложил возможное решение: $x^3 = (1+y\sqrt{-2})(1-y\sqrt{-2})$
При этом $(1+y\sqrt{-2})$ и $(1-y\sqrt{-2})$ взаимно-просты в $\mathbb Z[-\sqrt{2}].$ Действительно, если
$d = GCD(1+\sqrt{-2}, 1-y\sqrt{-2}),$ то $d|2,$ но $d|x,$ а $x$ очевидно нечетно, поэтому $d=1.$

Следовательно, $(a+b\sqrt{-2})^3 = 1+y\sqrt{-2}$ для целых $a, b,$ откуда
$\begin{cases} a^3 - 6ab^2 = 1, \\ 3a^2b -4b^3 = y. \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $a|1,$ значит $a=\pm 1.$

Для $a = -1$ имеем уравнение $6b^2 = 2,$ которое не имеет решений.
Для $a = 1$ имеем $6b^2 = 0,$ и $b=0,$ что дает $y = 0, x = 1.$

Таким образом, в положительных целых решений у исходного уравнения нет.

В той же теме nnosipov предложил обобщение задачи: решить при $n \ge 3$ в положительных целых уравнение
$$x^n = 2y^2 +1.$$

Если с соответствующими поправками повторить рассуждения выше, можно получить
$(a+b\sqrt{-2})^n = 1+y\sqrt{-2}$
Формула бинома Ньютона дает $a = \pm 1,$ а также для $b$ и его степеней дает длинное выражение, по которому не очевидно, как можно получить $b = 0,$ и вообще, возможно ли это получить. Поэтому спрошу здесь: как получить в этом случае, если это возможно, $b=0$ ?