Диофантово уравнение 2x^2 + 1 = y^n

[mathematician123]

Пусть $n \ge 3$. Решите в целых числах уравнение $2x^2 + 1 = y^n$.

[lel0lel]

Нужно рассмотреть только простые $n$. Пусть $n=3$. Заметим, что $y=2t+1,$ где $t> 0$ (тривиальное решение не рассматриваем), тогда $x^2 = t (3 + 6 t + 4 t^2)$.

1) Если $t=a^2$, то имеем уравнение $b^2=(3 + 6 a^2 + 4 a^4)$, оно не имеет решений, так как $(2b)^2=(4a^2+3)^2+3$.

2)Теперь пусть $t=z a^2$, где $z>1$ делитель $t$ свободный от квадратов, тогда $x=\pm k z a$. Получаем $3 + 6 a^2 z - k^2 z + 4 a^4 z^2=0$, поэтому $z=3$. Тогда $12 a^4 + 6 a^2+1 = k^2$, то есть $12 a^4 + 6 a^2= (k-1)(k+1)$. Так как $k$ нечётное, то $k=m a^2+1$, здесь для удобства $m$ может быть как положительным так и отрицательным (так сразу рассмотрим оба случая). После сокращения на $a\ne 0$, уравнение принимает вид $a^2(12- m^2) - 2 m+6 = 0$, тогда $a=\pm\sqrt{\frac{6-2m}{m^2-12}}$. Функция в правой части последнего уравнения легко исследуется, тем самым, целочисленные решения уравнения только $(m,a)=(-3,\pm 2)$ и $(m,a)=(3,0)$. Но первое не подходит, проверяем это подстановкой $t=z a^2=12$ в $x^2 = t (3 + 6 t + 4 t^2)$, второе даёт тривиальное решение.

Бегло посмотрел, вроде решение обобщается на все нечётные простые $n$. То бишь, кроме тривиальных решений нет.

[mathematician123]

lel0lel в сообщении #1561069 писал(а):

Бегло посмотрел, вроде решение обобщается на все нечётные простые $n$. То бишь, кроме тривиальных решений нет.

Есть решение $2 \cdot 11^2 + 1 = 3^5$.

[lel0lel]

Виноват, поспешил с обобщением. Завтра рассмотрю случай пятой степени подробно.

[nnosipov]

lel0lel
Не надо пятой, вернитесь к третьей, у Вас там ошибка в рассуждениях.

[mathematician123]

lel0lel в сообщении #1561069 писал(а):

Нужно рассмотреть только простые $n$.

Ещё нужно рассмотреть случай $n = 4$. Хотя он не сложный.

lel0lel в сообщении #1561069 писал(а):

Тогда $12 a^4 + 6 a^2+1 = k^2$, то есть $12 a^4 + 6 a^2= (k-1)(k+1)$. Так как $k$ нечётное, то $k=m a^2+1$,

Из делимости $k^2 - 1$ на $a^2$ не следует делимость $k+1$ или $k - 1$ на $a^2$.

Вообще, стоит предупредить, мне не известно простого решения задачи. Моё решение использует один неэлементарный факт.

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1561082 писал(а):

у Вас там ошибка в рассуждениях

Спасибо. Вот она:

lel0lel в сообщении #1561069 писал(а):

то есть $12 a^4 + 6 a^2= (k-1)(k+1)$. Так как $k$ нечётное, то $k=m a^2+1$

Это верно для простого $a$. У нас этого нет. Даже не знаю почему такой ляп сделал, наверное, хотелось быстрее решить без черновика.

Очередная глупость была

-- Вт июл 26, 2022 11:39:03 --

mathematician123 в сообщении #1561098 писал(а):

Из делимости $k^2 - 1$ на $a^2$ не следует делимость $k+1$ или $k - 1$ на $a^2$.

Пока печатал ответ вы уже нашли мою ошибку) Спасибо за проверку.

[nnosipov]

mathematician123 в сообщении #1561098 писал(а):

мне не известно простого решения задачи

А метод из статьи

Sury B. On the Diophantine equation x^2 +2 = y^n // Archiv der Mathematik. 2000. Vol. 74. P. 350—355.

не работает?

[mathematician123]

nnosipov
Моё решение начинается также: используется факториальность $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}] $. Дальше пока не смотрел, нужно время, чтобы изучить статью. Ещё нашёл тему, где Вы решаете похожее уравнение. Уравнение $2x^2 + 1 = y^n$ решается похожим образом, но есть пара нюансов.

[mathematician123]

Случай $n = 3$ можно разобрать даже без использования факториальности $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Этот случай сводится к уравнению $12a^4 + 6a^2 + 1 = k^2$. Далее заменой $k-1 = t$ можно избавиться от свободного члена. Затем применяем метод, изложенный здесь. Тогда всё сведётся к четырём уравнениям $48x^4 - y^2 = d$, где $d \mid 3$, которые легко решаются.

[Mitkin]

$2x^2-2=y^n-3$
откуда следует, что либо
$x\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$
либо
$y\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$

[Lia]

Mitkin
Замечание за дублирование сообщений.

[Mitkin]

Пусть $y\not\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$, т.е
$x\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$
тогда
$(2x^2)^n+1=y^n+3k$
или
$y^n((2x^2)^{n-1}-\dots+1)=y^n+3k$
откуда
$k\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}y^n$
поэтому
$(2x^2)^{n-1}-\dots-2x^2=3k_1$
Тут за скобки выносится $2x^2$, значит
$3k_1\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}2x^2$
откуда
$(2x^2)^{n-2}-\dots-1=k_2$, где
$k_2\not\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}3$
далее
$2x^2((2x^2)^{n-2}-\dots+1)=1+k_2$
или
$2x^2((2x^2)^{n-2}+1)=y^n+k_2y^n$

[Mitkin]

предпоследняя формула не верна

$$2x^2((2x^2)^{n-3}-\dots+1)=1+k_2$$

или

$$2x^2((2x^2)^{n-2}+1)=y^n+k_2y^n$$

[Mitkin]

дальше не получается