Вопрос про о-малые

[mihaild]

Red_Herring в сообщении #1617716 писал(а):

Не асимптотика, а оценка сверху

Тут, видимо, разница в терминологических традициях. Я в куче мест и лекций видел и слышал называние таких записей именно асимптотикой. "Асимптотика этого алгоритма $O(n^2)$, но может быть и $O(n)$".

[F111mon]

Если имеется в виду асимптотика, то это обозначается буквой $ \Theta $

[realeugene]

mihaild в сообщении #1617729 писал(а):

Тут, видимо, разница в терминологических традициях. Я в куче мест и лекций видел и слышал называние таких записей именно асимптотикой. "Асимптотика этого алгоритма $O(n^2)$, но может быть и $O(n)$".

Это всё именно оценка сверху асимптотической сложности алгоритма. Фразой "но может быть" скорее всего подразумевалось, что на каком-то классе входных данных алгоритм линеен. Но это не точно.

[yafkin]

Padawan в сообщении #1617726 писал(а):

Нумеровать $o$-малые вполне нормально. И воспринимать их как функции -- тоже. Например, на одной из недавних лекций я написал $J(x+h)-J(x) =L(h) +o(\|h\|) $, где $\lim\limits_{h\to 0}\frac {o(\|h\|) }{\|h\|}=0$.

аппетитно выглядит.

[мат-ламер]

yafkin в сообщении #1617830 писал(а):

аппетитно выглядит.

А что значит "аппетитно"? Что-то похожее тут на форуме обсуждалось. Один очень уважаемый (по крайней мере, мной) товарищ в своей монографии именно так и написал. Может он имел в виду другое. Может в спешке палочки не так расставил или добавил лишние. Грамотный читатель разберётся. Опечатки никак не влияют на достоинство книги. Так Padawan находил кучу опечаток у Зорича. Ну и что? Зорича от этого я меньше уважать не стал. В конце концов там уже десяток изданий его издано. Что намекает, что он востребован. И можно ожидать, раз его читают, то опечатки от издания к изданию будут устраняться.

[TOTAL]

yafkin в сообщении #1617830 писал(а):

Padawan в сообщении #1617726 писал(а):

Нумеровать $o$-малые вполне нормально. И воспринимать их как функции -- тоже. Например, на одной из недавних лекций я написал $J(x+h)-J(x) =L(h) +o(\|h\|) $, где $\lim\limits_{h\to 0}\frac {o(\|h\|) }{\|h\|}=0$.

аппетитно выглядит.

Выглядит странно. Почему не норма $h$ стремится к нулю?

[Padawan]

TOTAL в сообщении #1617834 писал(а):

Почему не норма $h$ стремится к нулю?

А какая разница? (дело происходит в нормированном пространстве)

[TOTAL]

Padawan в сообщении #1617841 писал(а):

TOTAL в сообщении #1617834 писал(а):

Почему не норма $h$ стремится к нулю?

А какая разница? (дело происходит в нормированном пространстве)

Что происходит в нормированном пространстве? Значения функций тоже принадлежат этому (или какому-то) нормированному пространству?

[Padawan]

$J\colon X\to\mathbb R$, где $X$ - нормированное пространство.

[EminentVictorians]

А это разве не определение, что h $\to$ 0, если $||h|| \to 0$?

-- 14.11.2023, 13:38 --

Padawan в сообщении #1617726 писал(а):

Нумеровать $o$-малые вполне нормально. И воспринимать их как функции -- тоже. Например, на одной из недавних лекций я написал $J(x+h)-J(x) =L(h) +o(\|h\|) $, где $\lim\limits_{h\to 0}\frac {o(\|h\|) }{\|h\|}=0$.

И, кажется, даже ничего менять не надо, если считать областью значений функции $J$ произвольное аффинное нормированное пространство. Просто главное не забыть, что вот это вычитание:

$$J(x+h)-J(x)$$

означает вычитание на точках аффинного пространства, т.е. вектор присоединенного векторного пространства, идущий из $J(x)$ в $J(x + h)$.

-- 14.11.2023, 14:22 --

Ой, нет. Менять все же придется. Надо в дроби

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac {o(\|h\|) }{\|h\|}=0$$

брать не само о малое, а его норму. Вот так:

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac {||o(\|h\|) ||}{\|h\|}=0$$

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1617846 писал(а):

Вот так:

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac {||o(\|h\|) ||}{\|h\|}=0$$

Как по мне, то что-то сильно много вертикальных палочек в числителе. Но не буду вмешиваться.

[mihaild]

Padawan в сообщении #1617726 писал(а):

Например, на одной из недавних лекций я написал $J(x+h)-J(x) =L(h) +o(\|h\|) $,

Вот это хотя и распространенная, но ИМХО не очень удачная запись, потому что получается что $J(x + h) - J(x) - L(h) = o(\|h\|)$, и левая часть, вообще говоря, зависит от направления $h$, а правая - нет.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1617866 писал(а):

Как по мне, то что-то сильно много вертикальных палочек в числителе.

Я понимаю так:

$h$ - это вектор приращения.
$o(||h||)$ - это класс функций.
Когда мы пишем "$...+o(||h||)$" мы имеем в виду "...+ некоторая функция из класса $o(||h||)$".
Сама эта функция берет вектор $h$ и возвращает другой вектор, норма которого стремится к нулю при стремлении к нулю нормы вектора $h$.
Здесь мы хотим записать этот факт в виде дроби. Делить мы в ней будет одну вещественнозначную функцию на другую. Т.е. одну норму на другую.

[Padawan]

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1617846 писал(а):

Ой, нет. Менять все же придется. Надо в дроби

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac {o(\|h\|) }{\|h\|}=0$$

брать не само о малое, а его норму. Вот так:

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac {||o(\|h\|) ||}{\|h\|}=0$$

Опять же, а какая разница? Стремится у нулю это и значит норма стремится к нулю. Хотя для чёткости норму лучше поставить и здесь в $h\to 0$, согласен с TOTAL.

[KhAl]

mihaild, $o(x^2)$ тоже неудачная запись?